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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Mittelwertsätze

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Mittelwertsätze

Merke

Der Mittelwertsatz besagt geometrisch: Eine differenzierbare Funktion  $f : [a, b] \in \mathbb{R}$  besitzt eine Tangente durch einen Punkt des Funktionsgraphen mit derselben Steigung wie die Sekante welche durch die beiden Punkte  $(a, f(a))$ und  $(b, f(b))$  des Funktionsgraphen geht.

Genauer gilt:

Ist die Funktion $f$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig und auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt $x_0 \in (a, b)$ mit

$f´(x_0) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $f(x) = 2x^2$ mit $f : [a, b] \in \mathbb{R}$. Und die Punkte $S_1(-1, 2)$, und $S_2(3, 18)$.

Zunächst wird die Sekante bestimmt, welchen durch die beiden Punkten verläuft, die auf dem Funktionsgraphen liegen:

Sekantengleichung:

$s(x) = mx + b$

$m$ bestimmen:

$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $

$m = \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)}$

$m = \frac{18 - 2}{3 + 1} = 4$

$s(x) = 4x + b$

$b$ bestimmen mit Punkt  $S_1$  oder Punkt  $S_2$:

Punkt  $S_2$:

$18 = 4 \cdot 3 + b$

$b = 6$

$s(x) = 4x + 6$


Bestimmung der Tangente, welchen durch den Punkt $x_0$ auf dem Funktionsgraphen verläuft und dieselbe Steigung wie die Senkante aufweist:

Zunächst wird der Punkt $x_0$ bestimmt, durch welchen die Tangente verläuft. Hierzu wird die Steigung der Funktion mit der ersten Ableitung ermittelt:

$f´(x) = 4x$ . 

Es kann nun mittels der folgenden Gleichung der Punkt $x_0$ ermittelt werden, durch welchen die Tangente verläuft:

$f´(x_0) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$

$4x_0 = \frac{18 – 2}{3 + 1}$

$x_0 = 1$

Der Punkt $x_0 = 1$ mit dem Funktionswert $f(1) = 2$ liegt auf dem Funktionsgraphen. Durch diesen Punkt verläuft die Tangente, welche dieselbe Steigung wie die Sekante aufweist. 

Der nächste Schritt ist dann die Tangentenbestimmung:

Ist $f(x)$ in $x_0$ differenzierbar, dann lautet die Tangente, die den Graph $f(x)$ im Punkt $(x_0, f(x_0))$ schneidet:

$y = f´(x_0)(x – x_0) + f(x_0)$.

Die Tangente die durch den oben ermittelte Punkt $(x_0, f(x_0)) = (1, 2)$ geht lautet:

$y = f´(x_0)(x – x_0) + f(x_0) $

$y = 4x_0 \cdot (x - 1) + 2 = 4 \cdot 1 \cdot (x – 1) + 2$

$y = 4x – 4 + 2$

Methode

$y = 4x - 2$

Mittelwertsatz, Sekante, Tangente

Anwendungsbeispiel zu Mittelwertsätze

Beispiel

Gegeben sei die Funktion:  $f(x) = -x^2 + 12$.  Berechne die Sekante, welche durch die Punkte $S_1(-1, 11)$ und $S_2(3, 3)$ geht. Berechne außerdem die Tangente, welche die gleiche Steigung wie die Sekante hat und den Schnittpunkt der Tangente mit  $f(x)$.
Sekantengleichung

$s(x) = mx + b$

$m$ bestimmen:

$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 11}{3 + 1} = -2$

$s(x) = -2x + b$

$b$ bestimmen mit Punkt  $S_1$  oder Punkt  $S_2$:

Punkt  $S_1$:

$11 = -2\cdot -1 + b$

$b = 9$

$s(x) = -2x + 9$

Schnittpunkt Tangente und Funktionsgraph

Die Steigung der Funktion ist $f´(x) = -2x$. Zu ermitteln ist nun der Punkt $x_0 \in (a, b)$, welcher die gleiche Steigung aufweist, wie die Sekante, die durch die Punkte $S_1$ und $S_2$ geht:

$f´(x_0) = \frac{f(s_2) – f(s_1)}{s_2 – s_1}$

$-2x_0 = \frac{3 - 11}{3 + 1}$

$x_0 = 1$

Der Punkt $x_0 = 1$ mit dem Funktionswert $f(1) = 11$ hat die selbe Steigung wie die Sekante, welche durch die Punkte $S_1$ und $S_2$ geht.

Tangentengleichung

$g(x) = f(x_0) + f´(x_0)(x - x_0) = 11 + -2(x - 1) = -2x + 13$

Mittelwertsatz
Mittelwertsatz

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Tangente (rechts in der Grafik) genau die gleiche Steigung aufweits, wie die Sekante (links in der Grafik). 

Merke

Eine Sekante hat zwei Schnittpunkte mit den Funktionsgraphen, eine Tangente hat einen Schnittpunkt mit dem Funktionsgraphen.