Mittelwertsätze

Genauer gilt:

Ist die Funktion $f$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig und auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt $x_0 \in (a, b)$ mit

$f´(x_0) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$.

Zunächst wird die Sekante bestimmt, welchen durch die beiden Punkten verläuft, die auf dem Funktionsgraphen liegen:

Sekantengleichung:

$s(x) = mx + b$

$m$ bestimmen:

$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $

$m = \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)}$

$m = \frac{18 - 2}{3 + 1} = 4$

$s(x) = 4x + b$

$b$ bestimmen mit Punkt  $S_1$  oder Punkt  $S_2$:

Punkt  $S_2$:

$18 = 4 \cdot 3 + b$

$b = 6$

$s(x) = 4x + 6$

Bestimmung der Tangente, welchen durch den Punkt $x_0$ auf dem Funktionsgraphen verläuft und dieselbe Steigung wie die Senkante aufweist:

Zunächst wird der Punkt $x_0$ bestimmt, durch welchen die Tangente verläuft. Hierzu wird die Steigung der Funktion mit der ersten Ableitung ermittelt:

$f´(x) = 4x$ . 

Es kann nun mittels der folgenden Gleichung der Punkt $x_0$ ermittelt werden, durch welchen die Tangente verläuft:

$f´(x_0) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$

$4x_0 = \frac{18 – 2}{3 + 1}$

$x_0 = 1$

Der Punkt $x_0 = 1$ mit dem Funktionswert $f(1) = 2$ liegt auf dem Funktionsgraphen. Durch diesen Punkt verläuft die Tangente, welche dieselbe Steigung wie die Sekante aufweist. 

Der nächste Schritt ist dann die Tangentenbestimmung:

Ist $f(x)$ in $x_0$ differenzierbar, dann lautet die Tangente, die den Graph $f(x)$ im Punkt $(x_0, f(x_0))$ schneidet:

$y = f´(x_0)(x – x_0) + f(x_0)$.

Die Tangente die durch den oben ermittelte Punkt $(x_0, f(x_0)) = (1, 2)$ geht lautet:

$y = f´(x_0)(x – x_0) + f(x_0) $

$y = 4x_0 \cdot (x - 1) + 2 = 4 \cdot 1 \cdot (x – 1) + 2$

$y = 4x – 4 + 2$

Anwendungsbeispiel zu Mittelwertsätze

Sekantengleichung

$s(x) = mx + b$

$m$ bestimmen:

$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 11}{3 + 1} = -2$

$s(x) = -2x + b$

$b$ bestimmen mit Punkt  $S_1$  oder Punkt  $S_2$:

Punkt  $S_1$:

$11 = -2\cdot -1 + b$

$b = 9$

$s(x) = -2x + 9$

Schnittpunkt Tangente und Funktionsgraph

Die Steigung der Funktion ist $f´(x) = -2x$. Zu ermitteln ist nun der Punkt $x_0 \in (a, b)$, welcher die gleiche Steigung aufweist, wie die Sekante, die durch die Punkte $S_1$ und $S_2$ geht:

$f´(x_0) = \frac{f(s_2) – f(s_1)}{s_2 – s_1}$

$-2x_0 = \frac{3 - 11}{3 + 1}$

$x_0 = 1$

Der Punkt $x_0 = 1$ mit dem Funktionswert $f(1) = 11$ hat die selbe Steigung wie die Sekante, welche durch die Punkte $S_1$ und $S_2$ geht.

Tangentengleichung

$g(x) = f(x_0) + f´(x_0)(x - x_0) = 11 + -2(x - 1) = -2x + 13$

Mittelwertsatz

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Tangente (rechts in der Grafik) genau die gleiche Steigung aufweits, wie die Sekante (links in der Grafik).