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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Regel von de l' Hospital

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Regel von de l' Hospital

Guillaume François Antoine de l’Hospital führte im 17. Jahrhundert  die Differential– und Integralrechnung in Frankreich ein. 

Mithilfe der Regel von de l'Hospital lassen sich Grenzwerte von Quotienten bestimmen. Die Regel kann angewendet werden, wenn Nenner und Zähler entweder beide gegen Null $[\frac{0}{0}]$  oder beide gegen Unendlich $[\frac{\infty}{\infty}]$ streben. 

Methode

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Regel 1: Die Funktionen  $f(x), g(x)$  gelten an der Stelle  $x_0$  differenzierbar und es gelte 

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = 0$, sowie  $g´(x_0) \neq 0$.  

Dann gilt:

$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f´(x)}{g´(x)}$

Die obigen Regel besagt einfach, dass wenn sowohl Nenner als auch Zähler einer Funktion gegen Null laufen, wenn $x$ gegen einen bestimmten Wert $x_0$ läuft und die erste Ableitung des Nenners für $x_0$ ungleich Null ist, dann:

Bilde die erste Ableitung von Zähler und Nenner und lasse diese gegen $x_0$ laufen.

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion:  $\frac{3x^3 + 2x^2 + x}{x^2 + 5x}$.  Berechne  $\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x^3 + 2x^2 + x}{x^2 + 5x}$.

Laufen Zähler und Nenner gegen Null für $x \to 0$ ?

$f(0) = 3 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 0 = 0 \ $  und  $ \ g(0) = 0^2 + 5 \cdot 0 = 0$:

$\rightarrow \ $ es gilt  $f(0) = g(0) = 0$

Ist die erste Ableitung für $x_0 = 0$ ungleich Null?

$g´(0) = 2 \cdot 0 + 5 = 5 \neq 0$. 

Anwendung der Regel von de l'Hospital indem die Ableitung des Zähler und Nenners gebildet wird und diese gegen $x \to 0$ konvergieren:

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{f´(0)}{g´(0)} = \frac{9 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + 1}{2 \cdot 0 + 5} = \frac{1}{5}$.

Für $x \to 0$ geht die Funktion gegen $\frac{1}{5}$.

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion: $\frac{x^3 - x^2 - 5x - 3}{3x^2 - 7x - 6}$.  Berechne $\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^3 - x^2 - 5x - 3}{3x^2 - 7x - 6}$.

Laufen Zähler und Nenner gegen Null für $x \to 3$ ?

$f(3) = 0, g(3) = 0$

Ist die erste Ableitung für $x_0 = 3$ ungleich Null?

$g´(3) = 11 \neq 0$

Anwendung der Regel von de l'Hospital indem die Ableitung des Zähler und Nenners gebildet wird und diese gegen $x \to 3$ konvergieren:

$\lim\limits_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to 3} \frac{f´(3)}{g´(3)} = \frac{16}{11}$

Für $x \to 3$ geht die Funktion gegen $\frac{16}{11}$.

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion:  $\frac{1 - cosx}{sinx}$.  Berechne  $\lim\limits_{x \to 0}\frac{1 - cosx}{sinx}$

Laufen Zähler und Nenner gegen Null für $x \to 0$ ?

$f(0) = 0, g(0) = 0$

Ist die erste Ableitung für $x_0 = 0$ ungleich Null?

 $g´(0) = cos(0) = 1 \neq 0$

Anwendung der Regel von de l'Hospital indem die Ableitung des Zähler und Nenners gebildet wird und diese gegen $x \to 0$ konvergieren:

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{f´(0)}{g´(0)} = \frac{sin(0)}{cos(0)} = 0$

Für $x \to 0$ geht die Funktion gegen $0$.

Zähler und Nenner laufen gegen Unendlich

Methode

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Regel 2:  Die Funktionen  $f(x), g(x)$  gelten an der Stelle  $x_0$  differenzierbar und es gelte  $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = \infty$, sowie  $g´(x_0) \neq 0$.  Dann gilt:

$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f´(x)}{g´(x)}$

Die obigen Regel besagt einfach, dass wenn sowohl Nenner als auch Zähler einer Funktion gegen Unendlich laufen, wenn $x$ gegen einen bestimmten Wert $x_0$ läuft und die erste Ableitung des Nenners für $x_0$ ungleich Null ist, dann:

Bilde die erste Ableitung von Zähler und Nenner und lasse diese gegen $x_0$ laufen.

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion:  $\frac{e^{2x}}{x^2}$.  Berechne  $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^2}$.

Laufen Zähler und Nenner gegen Unendlich für $x \to \infty$ ?

Eigenschaft der e-Funktion:  $\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$.

$\lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \infty^2 = \infty$  

Es gilt also:  $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \infty$

Ist die erste Ableitung für $x_0 = \infty$ ungleich Null?


$g´(\infty) = 2 \cdot \infty = \infty \neq 0$

Anwendung der Regel von de l'Hospital:

$\rightarrow \; \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f´(x)}{g´(x)}$

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f´(x)}{g´(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2e^{2x}}{2x}$    
           

Nochmaliges Ableiten:

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{4e^{2x}}{2} = \infty$

Für $x \to \infty$ geht die Funktion gegen $\infty$.