Fehlerabschätzung

Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, soll im folgenden gezeigt werden wie man diesen Fehler abschätzt.

Die Folge $y_n$ konvergiert auf dem Intervall $I$ gleichmäßig gegen die Lösung $y$:

$|y(x) - y_n(x)| \le \frac{(\alpha L)^n}{n!} e^{\alpha L} \max\limits_{x \in I} |y_1(x) - y_0(x)|$

Die Fehlerabschätzung erfolgt, indem wir die Lipschitzkonstante innerhalb eines Intervalls festlegen. Das Intervall muss noch bestimmt werden. 

Um dies zu berechnen muss als erstes $\alpha$ bestimmt werden. 

Berechnung des Intervalls

1. Bestimmung von $x$ und $y$ gemäß $R = \{(x,y)| |x - x_0| \le a, \; |y - y_0| \le b \}$

In diesem Beispiel ist $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$, daraus folgt

$|x - 0| \le a \; \rightarrow \; x \le a$

$|y - 1| \le b \; \rightarrow \; y \le 1 + b$

2. Nun setzen wir in die Ausgangsfunktion $x = a$ und $y = 1+b$ ein und erhalten

$M = 2 a (1 + b)$

3. Nun kann $\alpha$ mit der Formel $\alpha = \min \{a, \frac{b}{M} \}$ ermittelt werden:

$\alpha = \min \{a, \frac{b}{2a(1+b)} \}$

4. Um nun das Maximum für $\alpha$ zu erhalten werden die beiden Komponenten des Minimums gleich gesetzt und nach $a$ aufgelöst:

$a = \frac{b}{2a(1+b)} \; \; | \cdot a$

$a^2 = \frac{b}{2(1+b)} \; \; | \sqrt{\; \; }$

$a = \sqrt{\frac{b}{2(1+b)}}$

Demnach ist $\alpha$ bei festem $b$ maximal für $a = \sqrt{\frac{b}{2(1+b)}}$

5. Als nächstes wird der Grenzwert für $b \to \infty$ berechnet:

$\lim\limits_{b \to \infty} \sqrt{\frac{b}{2(1+b)}} = \lim\limits_{b \to \infty} \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{2} \sqrt{(1+b)}}$

Sowohl der Nenner als auch der Zähler streben in diesem Fall gegen unendlich. Hier ist die Regel von de l'Hospital anzuwenden.

In diesem Beispiel laufen sowohl Zähler als auch Nenner gegen Unendlich. Es stellt sich noch die Frage ob die Ableitung des Nenners ungleich Null ist, damit die Regel angewandt werden kann:

$g(x) = \sqrt{2} \sqrt{(1+b)}$

$g´(x) = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{1 + b}} \; \neq 0$

Die Regel kann also angewandt werden. Das bedeutet, dass nun die Ableitungen von Zähler und Nenner gegen $\infty$ laufen:

$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f´(x)}{g´(x)} $

$\lim\limits_{b \to \infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{b}}}{\frac{\sqrt{2}}{ 2 \sqrt{(1+b)}}}$   mit dem Kehrwert multiplizieren

$\lim\limits_{b \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{b}} \cdot \frac{2 \sqrt{1+b}}{\sqrt{2}}$

$\lim\limits_{b \to \infty} \frac{2 \sqrt{1+b}}{2 \sqrt{b} \sqrt{2}} = \lim\limits_{b \to \infty} \frac{\sqrt{1+b}}{\sqrt{b} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \lim\limits_{b \to \infty} \sqrt{\frac{1+b}{b}}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \lim\limits_{b \to \infty} \sqrt{\frac{1}{b} + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{0 + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Der Grenzwert von $\alpha$ bei festem $b$ beträgt demnach $\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Das Iterationsverfahren konvergiert also auf dem Intervall

$[0 - \frac{1}{\sqrt{2}}, \; 0 + \frac{1}{\sqrt{2}}] = [- \frac{1}{\sqrt{2}}, \; \frac{1}{\sqrt{2}}]$.

Berechnung der Lipschitzkonstanten

$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L (y_1 - y_2)$

$|2xy_1 - 2xy_2| \le L (y_1 - y_2)$

$|2x(y_1 - y_2)| \le L (y_1 - y_2)$

$|2x \frac{(y_1 - y_2)}{(y_1 - y_2)}| \le L$

$L \ge |2x|$

Auf dem Streifen $[- \frac{1}{\sqrt{2}}, \; \frac{1}{\sqrt{2}}]$ ist $L = |2x| = \frac{2}{\sqrt{2}}$.

Da es sich bei $|2x|$ um ein Polynom ersten Grades handelt und alle ganz-rationalen Polynome stetig sind, kann man $L = \frac{2}{\sqrt{2}}$ als lokale Lipschitzkostante wählen.

Fehlerabschätzung

Nachdem nun alle Variablen bestimmt sind, kommt die obige Formel zur Fehlerabschätzung zur Anwendung:

$|y(x) - y_n(x)| \le \frac{(\alpha L)^n}{n!} e^{\alpha L} \max\limits_{x \in I} |y_1(x) - y_0(x)|$

mit

$\alpha L = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 1$

$n = 3$  (wegen 3 Iterationen)

$|y_1(x) - y_0(x)| = |1 + x^2 - 1| = |x^2|$

$\max\limits_{x \in I} |y_1(x) - y_0(x)| = |(\frac{1}{\sqrt{2}})^2| = \frac{1}{2}$

Insgesamt ergibt sich also:

$|y(x) - y_3(x)| \le \frac{(1)^3}{3!} e^{1} \frac{1}{2} \le \frac{1}{3!} e^1 \frac{1}{2} \le 0,23$

Der ermittelte Fehler von $\approx 0,23$ tritt auf, wenn die approximierte Potenzreihe $\sum\limits_{k = 0}^{3} \frac{x^{2k}}{k!}$ (siehe vorherigen Abschnitt) als Lösung angenommen wird.