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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Logarithmusfunktion

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Umkehrfunktion für die allgemeine Exponentialfunktion

$y = a^x \rightarrow x = \log_a(y)$

Beispiel

Die Funktion  $27 = 3^x$  ergibt  $x = \log_3(27) = 3$. 

Beispiel

Die Funktion  $150 = 10^x$  ergibt  $x = \log(150) \approx 2,1761$

Umkehrfunktion für die e-Funktion

$y = e^x \rightarrow  x = \ln(y)$

Beispiel

Die Funktion  $5 = e^x$ ergibt   $x = \ln(5) \approx 1,61$

Merke

Der Taschenrechner enthält meistens nur den Logarithmus für die Basis $10 (a = 10)$ und wird mit  $\log$  bezeichnet oder den natürlichen Logarithmus  $\ln$  für die Basis $e$ (=Eulersche Zahl). Für alle anderen Basen muss eine Basisumrechnung stattfinden.

Basisumrechnung

$x = \log_a(y)$:

$\rightarrow a^x = y$

$\rightarrow \log_b a^x =  \log_b(y)$                     Erweiterung auf beiden Seite 

$\rightarrow x \log_b(a) =  \log_b(y)$                 mit einer beliebigen Basis: z.B. $\log_b$

$\rightarrow x = \frac{\log_b(y)}{\log_b(a)}$

Beispiel

Gegeben sei die Funktion  $150 = 5^x$. Berechne $x$.
Basis 10:

$x = \frac{\log(150)}{\log(5)} \approx 3,1133$

Basis e:

$x = \frac{\ln(150)}{\ln(5)} \approx 3,1133$

Merke

Das bedeutet also, dass mithilfe der Formel $\frac{\log_b(y)}{\log_b(a)}$ mit $log_b=  ln$ oder $log_b = log$ (welche der Taschenrechner enthält) die Exponenten jeder beliebigen Basis $a$ berechnet werden können.

Rechenregeln

(1)  $log_a xy = log_a x + log_a y$

(2)  $log_a \frac{1}{x} = -log_a x$

(3)  $log_a x^r = r log_a x$