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Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Logarithmusfunktionen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Ihr Name leitet sich von den griechischen Wörtern lógos = "Verständnis, Lehre" und arithmós = "Zahl" ab. Schon vor Christi Geburt sind entsprechende Berechnungen belegt. Die Bezeichnung Logarithmus wurde von John Napier zu Beginn des 17. Jahrhunderts eingeführt.

Einführung in den Logarithmus als Umkehrung der Exponentialfunktion

Als Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion bezeichnet der Logarithmus einer Zahl den Exponenten, mit dem ein vorher festglegter Zahlenwert (Basis) potenziert werden muss, um die festgelegte Zahl zu erhalten.

Anders ausgedrückt: Das positive reelle $x$ als Potenz zur Basis $b$ wird als die Zahl formuliert, die die Gleichung

$b^y = x$

löst. Der Logarithmus ist ihr Exponent

$y = log_b(x)$.

Setzen wir beide Terme ineinander ein, so können wir die Definition des Logarithmus' mit folgenden Gleichungen wiedergeben:

Methode

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$b^y = b^{log_b(x)} = x$

$log_b(x) = log_b(b^y) = y$

Wie schon erwähnt, heißt $b$ die Basis des Logarithmus'. Wir nennen $x$ das Argument des Logarithmus'.

 

Beispiel

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Gegeben sei die Gleichung $log_3(x) = 7$. Berechne bitte $x$!

Wir suchen also das Argument $x$ und sehen, dass die $7$ der Exponent zur Zahl $3$ ist, um $x$ zu erhalten. Wir können auch schreiben:

$3^7 = x \; \longrightarrow \; x = 2187 \; \Longrightarrow \; 7 = log_3(2187)$

Beispiel

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Gegeben sei die Gleichung $27 = 3^y$. Berechne bitte $y$!

Wir suchen den Wert $y$ (Exponent), mit dem wir die Basis $3$ potenzieren müssen, um das Argument $x = 27$ zu erhalten.

$27 = 3^y = 3^{log_3(27)} = x \; \longrightarrow \; y = log_3(27) = 3 \; \Longrightarrow \; 27 = 3^3$

Die Eigenschaften und Grenzwerte der allgemeinen Logarithmusfunktion

Logarithmusfunktionen haben eine große Bedeutung in der Wissenschaft, da mit ihnen sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich dargestellt werden können. Als allgemeine Logarithmusfunktion zur Basis $b$ bezeichnen wir die Funktion, die bei gegebener fester Basis $b$ jedem Argument $x$ ihren Logarithmus zuordnet:

Merke

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allgemeine Logarithmusfunktion: $f(x) = \log_b(x)$

Die Logarithmusfunktionen sind nur für positive reelle Zahlen sowie für alle positive Basen außer $1$ definiert:

Merke

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$x \in \mathbb{R^+} \;$ und $\; b \in \mathbb{R^+} \; \vert b \neq 1$


Möchten wir das Monotonieverhalten der allgemeinen Logarithmusfunktion bestimmen, müssen wir darauf achten, ob die Basis zwischen $0$ und $1$ liegt oder größer als $1$ ist.


Für alle $b > 1$ gilt:

  • Die Funktion ist streng monoton wachsend.
  • $\lim\limits_{x \to + \infty} log_b(x) = + \infty \;\;$ und $\;\; \lim\limits_{x \to 0} a^x = - \infty$
  • Für $\lim\limits_{x \to 0} log_b(x)$ ist die $y$-Achse (negativer Teil) eine senkrechte Asymptote.


Für alle $0 < b < 1$ gilt:

  • Die Funktion ist streng monton fallend.
  • $\lim\limits_{x \to + \infty} log_b(x) = - \infty \;\;$ und $\;\; \lim\limits_{x \to 0} a^x = + \infty$
  • Für $\lim\limits_{x \to 0} log_b(x)$ ist die $y$-Achse (positiver Teil) eine senkrechte Asymptote.

Rechenregeln

(1) $log_b(x^r) = r \cdot log_b(x) \;\; \vert r \in \mathbb{R}$

(2) $log_b(x \cdot y) = log_b(x) + log_b(y)$

(3) $log_b(\frac{x}{y} = log_b(x) - log_b(y)$

(4) $log_b(\frac{1}{x}) = log_b(x^{-1}) = - log_b(x)$

(5) $log_b(\frac{x}{y}) = - log_b(\frac{y}{x})$

(6) Wir kürzen aus der Summe $(x + y)$ das $x$ aus und erhalten: $\; x + y = x (1 + \frac{y}{x})$
$\;\;\;\; \Longrightarrow \, log_b(x + y) = log_b(x) + log_b(1 + \frac{y}{x})$

(7) Wurzeln sind nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten:
$\;\;\;\; \Longrightarrow log_b(\sqrt[n]{x}) = log_b(x^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \, log_b(x)$

Logarithmusfunktionen zu speziellen Basen

In Mathematik und Technik werden häufig Logarithmusfunktionen zu speziellen Basen angewendet:


$f(x) = log_2(x) = lb(x) \;$ binärer Logarithmus, Logarithmus zur Basis $2$
$\longrightarrow \;$ Anwendung in der Informatik im Binärsystem


$f(x) = log_{10}(x) = lg(x) \;$ dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus; Logarithmus zur Basis $10$
$\longrightarrow \;$ Anwendung bei numerischen Rechnungen im Dezimalsystem


$f(x) = log_e(x) = ln(x) \;$ natürlicher Logarithmus oder Logarithmus naturalis; Logarithmus zur Basis $e$ (eulersche Zahl)
$\longrightarrow \;$ Anwendung im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen

Basisumrechnung

Die meisten gängigen Taschenrechner können nur den dekadischen und den natürlichen Logarithmus einer Zahl bestimmen. Möchtest du den Logarithmus einer beliebigen Zahl berechnen, musst du die Basisumrechnung beherrschen.

Expertentipp

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Möchtest du etwas beherrschen, dann reicht es nicht, diese Sache ein Mal richtig zu machen.

Du beherrschst eine Sache erst, wenn du sie nicht mehr falsch machen kannst!


Die Gleichung $y = log_b(x)$ formen wir um in:

$\rightarrow b^y = x$

Wir logarithmieren beide Seiten mit einer beliebigen Basis $a \, \longrightarrow \, log_a$:

$\rightarrow log_a(b^y) = log_a(x)$

$\rightarrow y log_a(b) = log_a(x)$

$\rightarrow y = \frac{log_a(x)}{log_a(b)}$

Wir sehen somit, dass sich die Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor unterscheiden. Zur Basisumrechnung verwenden wir also diesen Zusammenhang:

Merke

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Basisumrechnung: $log_b(x) = \frac{log_a(x)}{log_a(b)}$

 

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $150 = 5^x$. Berechne $x$!


Berechnung mit Hilfe der Basis $10$:

$x = \frac{\lg(150)}{\lg(5)} \approx 3,1133$


Berechnung mit Hilfe der Basis $e$:

$x = \frac{\ln(150)}{\ln(5)} \approx 3,1133$