ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Beträge

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Beträge

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Beträge

Inhaltsverzeichnis

Methode

Definition

Der Betrag $|x|$ einer reellen Zahl $x \in \mathbb{R}$  ist definiert durch

$\begin{equation} |x| = \begin{cases} a & \text{falls  } \; a \ge 0 \\ -a & \text{falls  } \; a < 0 \end{cases} \end{equation}$

Die Werte zwischen den Betragsstrichen können sowohl positiv als auch negativ sein. Die Betragsstriche bedeuten mathematisch nichts anderes, als die Aufforderung, bei der Zahl oder dem Term schlicht die Vorzeichen nicht zu berücksichtigen.

Der Betrag wird immer dann angewendet wenn es für ein Ergebnis nicht darauf ankommt, ob dieses positiv oder negativ ist. Ein Beispiel für die Berechnung mit Beträgen sind statistische Untersuchungen über Abweichungen eines bestimmten Wertes. Dabei ist es häufig nicht wichtig ob die Abweichung positiv oder negativ ist, es kommt nur auf die absolute Größe der Abweichung an.

Beispiel

Ein Bäckereibetrieb hat seit längerem das Problem, dass die Brötchen nicht richtig gebacken werden. Deshalb wird an einem Tag alle 60 Minuten die Temperatur der Öfen gemessen. Die optimale Temperatur liegt bei $220°$. Folgende Werte sind innerhalb von 4 Stunden ermittelt worden: $(200°, 180°, 240°, 260°)$. Wie hoch ist die mittlere Abweichung vom optimalen Wert?

Die Abweichung vom optimalen Wert beträgt: $(-20; -40; 20; 40)$. Würden hier die Vorzeichen berücksichtigt bei Ermittlung des Mittelwertes, so wäre dieser bei $0 (= (-20+-40+20+40) / 4)$ und es würde keine Abweichung resultieren. Demnach muss die negative Abweichung vom optimalen Wert als Betrag gesehen werden: $(|-20|+|-40|+20+40) / 4) = 30$. Die mittlere Abweichung beträgt also $30°$ vom optimalen Wert.

Merke

Der Betrag einer Zahl oder eines Ausdrucks ist also stets positiv. 

Rechenregeln

Aus der obigen Definition ergeben sich Rechenregeln die im Folgenden aufgeführt sind:

(a)    $- |a| \le a \le |a|$,

(b)     $|-a| = |a|$,

(c)    $|ab| = |a||b|$,

(d)   $ |\frac {a} {b}| = \frac {|a|} {|b|}$    falls $b \not\in 0$

(e)    $|a| \le b      \leftrightarrow    -b \le a \le b$

Aus    $-|a| \le a \le |a|$    und    $- |b| \le b \le |b|$    

folgt    $-(|a| + |b|) \le (a + b) \le |a| + |b|$

also gilt für    $\forall a,b \in \mathbb{R}$:

Merke

$|a + b| \le |a| + |b|$                                      Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten $P_1$  und  $P_2$  stets der $\color{blue}{direkte   Weg}$ (geradlinige Verbindung) ist.

Dreiecksungleichung
Dreiecksungleichung

Das bedeutet also, dass die Strecke $\vec{a}$  und die Strecke  $\vec{b}$ zusammen länger ist, als die Strecke  $\vec{a} + \vec{b}$.

Beweis der Dreiecksgleichung

Es gilt    $a \le |a|$    und    $b \le |b|    \rightarrow$    (1)    $(a + b) \le |a| + |b|$  und  

$ -a \le |a|$  und  $-b \le |b|   \rightarrow$    (2)  $-a + -b =    -(a + b) \le |a| + |b|$

Für    $(a + b)$    und   $ -(a + b)$    gilt auch    $|a + b|$ 

Zusammenfassen von (1) und (2):  $|a + b| \le |a| + |b|$.