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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Beträge

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Beträge

Methode

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Definition

Der Betrag $|x|$ einer reellen Zahl $x \in \mathbb{R}$  ist definiert durch:

$\begin{equation} |x| = \begin{cases} a & \text{falls  } \; a \ge 0 \\ -a & \text{falls  } \; a < 0 \end{cases} \end{equation}$

Die Werte zwischen den Betragsstrichen können sowohl positiv als auch negativ sein. Die Betragsstriche bedeuten mathematisch nichts anderes als die Aufforderung, bei der Zahl oder dem Term schlicht die Vorzeichen nicht zu berücksichtigen.

Der Betrag wird immer dann angewendet, wenn es für ein Ergebnis nicht darauf ankommt, ob dieses positiv oder negativ ist. Ein Beispiel für die Berechnung mit Beträgen sind statistische Untersuchungen über Abweichungen eines bestimmten Wertes. Dabei ist es häufig nicht wichtig, ob die Abweichung positiv oder negativ ist, es kommt nur auf die absolute Größe der Abweichung an.

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenEin Bäckereibetrieb hat seit längerem das Problem, dass die Brötchen nicht richtig gebacken werden. Deshalb wird an einem Tag alle 60 Minuten die Temperatur der Öfen gemessen. Die optimale Temperatur liegt bei $220 °C$. Folgende Werte sind innerhalb von 4 Stunden ermittelt worden: $200 °C, 180 °C, 240 °C$ und $260 °C$. Wie hoch ist die mittlere Abweichung vom optimalen Wert?

Die Abweichungen vom optimalen Wert betragen: $-20, -40, 20$ und $40$. Würden bei der Ermittlung des Mittelwertes die Vorzeichen berücksichtigt, so läge dieser bei $\frac{-20+(-40)+20+40}{4} = \frac{0}{4} = 0$
und es würde keine Abweichung resultieren. Demnach muss die negative Abweichung vom optimalen Wert als Betrag gesehen werden:  $\frac{|-20|+|-40|+20+40}{4} = \frac{120}{4} = 30$. Die mittlere Abweichung beträgt also $30 °C$ vom optimalen Wert.

Merke

Hier klicken zum AusklappenDer Betrag einer Zahl oder eines Ausdrucks ist stets positiv. 

Rechenregeln

Aus der obigen Definition ergeben sich Rechenregeln, die im Folgenden aufgeführt sind:

(a)    $-|a| \le a \le |a|$

(b)    $|-a| = |a|$

(c)    $|ab| = |a||b|$

(d)    $|\frac {a} {b}| = \frac {|a|} {|b|}$    wenn $b \neq 0$

(e)    $|a| \le b      \longleftrightarrow    -b \le a \le b$

(f)    $|\frac{1}{a^n}| = \frac{1}{|a|^n}$

Dreiecksungleichung

Aus    $-|a| \le a \le |a|$    und    $- |b| \le b \le |b|$    

folgt    $-(|a| + |b|) \le (a + b) \le |a| + |b|$

also gilt für alle $a, b \in \mathbb{R}$:

Merke

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Dreiecksungleichung: $|a + b| \le |a| + |b|$

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten $P_1$  und  $P_2$ stets der $\color{blue}{\text{direkte Weg}}$ (geradlinige Verbindung) ist.

Dreiecksungleichung
Dreiecksungleichung

Das bedeutet also, dass die Strecke $\vec{a}$  und die Strecke  $\vec{b}$ zusammen länger sind als die Strecke  $\vec{a} + \vec{b}$.

Beweis der Dreiecksungleichung

Es gilt:

Wenn $a \le |a|$    und    $b \le |b|    \longrightarrow$    (1)    $(a + b) \le |a| + |b|$  und  

wenn $ -a \le |a|$  und  $-b \le |b|   \longrightarrow$    (2)  $-a + (-b) =    -(a + b) \le |a| + |b|$

Für    $(a + b)$    und   $ -(a + b)$    gilt auch    $|a + b|$.

Zusammenfassen von (1) und (2) ergibt:  $|a + b| \le |a| + |b|$