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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Ganzrationale Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Ganzrationale Funktionen

Definition einer ganzrationalen Funktion

Eine ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:

$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$

Die reellen Zahlen $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$ mit $a_n \neq 0$ heißen Koeffizienten, die Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist der Grad des Polynoms.

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben sei die Funktion $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$.

Dies ist eine ganzrationale Funktion (alle $n$ sind natürliche Zahlen) mit dem Grad $4$ und den Koeffizienten $-3, 2, -4$ und $8$.

Spezialfälle ganzrationaler Funktionen

konstante Funktion: $\;\;\;\;\; n = 0 \rightarrow f(x) = a_0$

lineare Funktion: $\;\;\;\;\;\;\;\;\; n = 1 \rightarrow f(x) = a_1x + a_0$

quadratische Funktion: $\, n = 2 \rightarrow f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$

Polynom 3. Grades: $\,\;\;\;\;\; n = 3 \rightarrow f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$

Polynom 4. Grades: $\,\;\;\;\;\; n = 4 \rightarrow f(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$


Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

In den folgenden zwei Abschnitten zeigen wir dir, wie man die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmt. Dabei gehen greifen wir die pq-Formel wieder auf und gehen auf die Substitution sowie die Polynomdivision ein. Außerdem zeigen wir, wie man die Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen bestimmt.