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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Ganz rationale Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Ganz rationale Funktionen

Definition einer ganz rationalen Funktion

Eine ganz rationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:

$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$

Die reellen Zahlen  $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$   mit  $a_n \neq 0$  heißen Koeffizienten , die Zahl  $n \in \mathbb{N}$  ist der Grad des Polynoms.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Ggeeben sei die Funktion:  $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$.  Dies ist eine ganzrationale Funktion (alle $n$ sind natürliche Zahlen), mit dem Grad 4 und den Koeffizienten $-3, 2, -4$ und $8$.

Spezialfälle ganz rationaler Funktionen

Konstante Funktion:         $n = 0 \rightarrow f(x) = a_0$

Lineare Funktion:              $n = 1 \rightarrow f(x) = a_1x + a_0$

Quadratische Funktion:  $n = 2 \rightarrow f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$

Polynom 3. Grades:        $n = 3 \rightarrow f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$

Polynom 4. Grades:  $n = 4 \rightarrow f(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$


In den folgenden zwei Abschnitten wird gezeigt, wie man die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmt. Dabei wird auf die p/q-Formel, die Substitution sowie die Polynomdivision eingegangen. Außerdem soll gezeigt werden, wie man die Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen bestimmt.