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Technische Mechanik 3: Dynamik - Gleichförmig beschleunigte Bewegung

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Gleichförmig beschleunigte Bewegung

In diesem Abschnitt wird die gleichförmig beschleunigte Bewegung betrachtet. Das bedeutet, dass die Beschleunigung konstant ist:

Methode

$a = const$  und damit  $a = a_0$.

Bestimmung der Geschwindigkeit 

Die Beschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Geschwindigkeit $v$. 

Methode

$a_0 = \dot{v} = \frac{dv}{dt} = const$

Will man nun die Geschwindigkeit bei gegebener Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:

Methode

$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a_0 \; dt$

Die bestimmte Integration liefert:

Methode

$v - v_0 = a_0 \cdot (t - t_0)$

Für die Geschwindigkeit ergibt sich also:

Methode

$v = v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)$

Bestimmung des Ortes

Um nun aus den oben ermittelten Ergebnissen den Ort $x$ zu bestimmen, muss man nochmals integrieren. Die Geschwindigkeit wurde durch die Ableitung von $x$ nach der Zeit $t$ bestimmt:

Methode

$v = \frac{dx}{dt}$.

Demnach kann man nun den Ort $x$ durch die bestimmte Integration der Geschwindigkeit bestimmen:

Methode

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} v \; dt $

Einsetzen von $v = v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)$ liefert:

Methode

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} (v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)) dt $

Auflösen der Integration führt zu:

Methode

$x - x_0 = \frac{1}{2} a_0 \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$

Für den Weg $x$ ergibt sich also:

Methode

$x  = x_0 + \frac{1}{2} a_0 \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$

Beginnt die Zeitzählung bei $t_0 = 0$ so ergeben sich die obigen Formeln zu:

Methode

$v = v_0 + a_0 \cdot t $

$x  = x_0 + \frac{1}{2} a_0 \cdot t^2 + v_0 \cdot t $.

Merke

Bei gleichförmig beschleunigten Bewegungen ist die Beschleunigung eine konstante Funktion, die Geschwindigkeit eine lineare Funktion und der Weg eine quadratische Funktion.

Geschwindigkeit-Ort-Kurve

In manchen Fällen ist es wichtig, die Geschwindigkeit als Funktion des Ortes $x$ bzw. $s$ (bei nicht geradliniger Bewegung) anzugeben:

Methode

$v(s) = v(x) = \sqrt{(v_0^2 - 2a_0x_0) + (2a_0 x)}$

Im Falle der gleichförmig beschleunigten Bewegung ist die Geschwindigkeit-Ort-Kurve $v,x$-Kurve eine Parabel an die $x$-Achse. Deren Scheitel liegt also bei $v = 0$ an der Stelle:

Methode

$x_S = x_0 - \frac{v_0^2}{2 a_0}$