Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Echt/unecht gebrochenrationale Funktion

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Echt/unecht gebrochenrationale Funktion

Echt gebrochen/unecht gebrochenrationale Funktion

Ist der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion $f(x)$ echt gebrochen.

Beispiel

echt gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$

Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner oder gleich dem Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen. 

Beispiel

unecht gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$

 

Merke

echt gebrochenrationale Funktion: $\text{Grad Nenner} > \text{Grad Zähler}$

unecht gebrochenrationale Funktion: $\text{Grad Nenner} \le \text{Grad Zähler}$

 

Polynomdivision → Unecht gebrochenrationale Funktion in ganzrationale plus echt gebrochenrationale Funktion umwandeln

Jede unecht gebrochene Funktion lässt sich mittels Polynomdivision in die Summe aus ganzrationaler Funktion und echt gebrochenrationaler Funktion überführen.

Beispiel

Zerlege die unecht gebrochene Funktion $\frac {x^4 +2x^3 +x -1}{x^3 -x^2+1}$ mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion plus echt gebrochenrationale Funktion!

$\;\;\;\;\;\; (x^4 +2x^3 +x -1) : (x^3 -x^2 +1) = x + 3$

$(-) (x^4 - \;\; x^3 + x)$
_______________________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3x^3 \;\;\;\;\;\;\;\; - 1$

$\;\;\;\;\;\;\; (-) (3x^3 - 3x^2 + 3)$
$\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;$ ____________________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3x^2 - 4 $

Ergebnis: $\; x + 3 \;$ mit dem Rest $\; \frac{3x^2 - 4}{x^3 -x^2 +1}$

Das bedeutet, dass die unecht gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac {x^4 +2x^3 +x -1}{x^3 -x^2+1}$ auch als ganz rationale Funktion plus echt gebrochenrationale Funktion geschrieben werden kann:

$\Longrightarrow f(x) = (x + 3)  +  \frac{3x^2 - 4}{x^3 -x^2 +1} $