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Echt gebrochen/unecht gebrochenrationale Funktion
Ist der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion $f(x)$ echt gebrochen.
Beispiel
echt gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$
Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner oder gleich dem Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen.
Beispiel
unecht gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$
Merke
echt gebrochenrationale Funktion: $\text{Grad Nenner} > \text{Grad Zähler}$
unecht gebrochenrationale Funktion: $\text{Grad Nenner} \le \text{Grad Zähler}$
Polynomdivision → Unecht gebrochenrationale Funktion in ganzrationale plus echt gebrochenrationale Funktion umwandeln
Jede unecht gebrochene Funktion lässt sich mittels Polynomdivision in die Summe aus ganzrationaler Funktion und echt gebrochenrationaler Funktion überführen.
Beispiel
$\;\;\;\;\;\; (x^4 +2x^3 +x -1) : (x^3 -x^2 +1) = x + 3$
$(-) (x^4 - \;\; x^3 + x)$
_______________________
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3x^3 \;\;\;\;\;\;\;\; - 1$
$\;\;\;\;\;\;\; (-) (3x^3 - 3x^2 + 3)$
$\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;$ ____________________
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3x^2 - 4 $
Ergebnis: $\; x + 3 \;$ mit dem Rest $\; \frac{3x^2 - 4}{x^3 -x^2 +1}$
Das bedeutet, dass die unecht gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac {x^4 +2x^3 +x -1}{x^3 -x^2+1}$ auch als ganz rationale Funktion plus echt gebrochenrationale Funktion geschrieben werden kann:
$\Longrightarrow f(x) = (x + 3) + \frac{3x^2 - 4}{x^3 -x^2 +1} $
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