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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Echt / unecht gebrochen rationale Funktion

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Echt / unecht gebrochen rationale Funktion

Echt gebrochen / unecht gebrochen rationale Funktion

Ist der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion  $f(x)$  echt gebrochen.

Beispiel:  $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$

Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen

Beispiel:  $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$

Merke

Grad Nenner > Grad Zähler: echt gebrochen rationale Funktion

Grad Nenner < Grad Zähler: unecht gebrochen rationale Funktion


Jede unecht gebrochene Funktion lässt sich mittels Polynomdivision in die Summe aus ganz rationaler Funktion und echt gebrochen rationalen Funktion überführen. 

Polynomdivision: Unecht gebrochen rationale Funktion in ganzrationale plus echt gebrochen rationale Funktion

Beispiel

Zerlege die unecht gebrochene Funktion $\frac {x^4 +2x^3 +x -1}{x^3 -x^2+1}$ mittels Polynomendivision in eine ganzrationale Funktion plus echt gebrochen rationale Funktion.

      $(x^4 +2x^3 +x -1) : (x^3 -x^2 +1) = x + 3 $

$(-) (x^4 - x^3 + x)$
____________________

                   $3x^3   - 1$

         $ (-) (3x^3 - 3x^2 + 3)$
                   _____________________

                                $3x^2 - 4 $

Das Ergebnis ist:  $x + 3$  mit den Rest  $\frac{3x^2 - 4}{x^3 -x^2 +1} $

Das bedeutet also, dass die unecht gebrochen rationale Funktion $f(x) = \frac {x^4 +2x^3 +x -1}{x^3 -x^2+1}$ auch als ganz rationale Funktion plus echt gebrochen rationale Funktion geschrieben werden kann:

$f(x) = (x + 3)  +  \frac{3x^2 - 4}{x^3 -x^2 +1} $