Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Echt/unecht gebrochenrationale Funktion

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Echt/unecht gebrochenrationale Funktion

Echt gebrochen/unecht gebrochenrationale Funktion

Ist der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion $f(x)$ echt gebrochen.

Beispiel

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echt gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$

Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen

Beispiel

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unecht gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$

 

Merke

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echt gebrochenrationale Funktion: $\text{Grad Nenner} > \text{Grad Zähler}$

unecht gebrochenrationale Funktion: $\text{Grad Nenner} < \text{Grad Zähler}$


Jede unecht gebrochene Funktion lässt sich mittels Polynomdivision in die Summe aus ganzrationaler Funktion und echt gebrochenrationaler Funktion überführen.

Polynomdivision: Unecht gebrochenrationale Funktion in ganzrationale plus echt gebrochenrationale Funktion umwandeln

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenZerlege die unecht gebrochene Funktion $\frac {x^4 +2x^3 +x -1}{x^3 -x^2+1}$ mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion plus echt gebrochenrationale Funktion!

$\;\;\;\;\;\; (x^4 +2x^3 +x -1) : (x^3 -x^2 +1) = x + 3$

$(-) (x^4 - \;\; x^3 + x)$
_______________________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3x^3 \;\;\;\;\;\;\;\; - 1$

$\;\;\;\;\;\;\; (-) (3x^3 - 3x^2 + 3)$
$\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;$ ____________________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 3x^2 - 4 $

Ergebnis: $\; x + 3 \;$ mit dem Rest $\; \frac{3x^2 - 4}{x^3 -x^2 +1}$

Das bedeutet, dass die unecht gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac {x^4 +2x^3 +x -1}{x^3 -x^2+1}$ auch als ganz rationale Funktion plus echt gebrochenrationale Funktion geschrieben werden kann:

$\Longrightarrow f(x) = (x + 3)  +  \frac{3x^2 - 4}{x^3 -x^2 +1} $