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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Asymptoten

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Asymptoten

Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion annähert, ohne dass sich beide in ihrem Verlauf irgendwo berühren. Betrachten wir eine beliebige gebrochenrationale Funktion:

$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$

Senkrechte Asymptote

Senkrechte Asymptoten befinden sich, wie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen bereits erwähnt haben, an Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion. Diese liegt vor, wenn in der Polynormform oder in der faktorisierten Form der gebrochenrationalen Funktion der Nenner gleich null ist, der Zähler jedoch nicht.

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senkrechte Asymptote: $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; n(x) = 0 \; z(x) \neq 0$

 

Beispiel: senkreche Asymptote

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2+2x-12}{6x^2-12x}$. Bestimme die Polstelle(n)!

Wir berechnen die Nennernullstellen und prüfen, ob es sich um eine Polstelle handelt:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$n(x) = 6x^2 - 12x$  /6

$n(x) = x^2 - 2x$

$x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$

$x_1 = 2$

$x_2 = 0$

Wir setzen $x_1$ und $x_2$ in die Zählerfunktion ein:

$z(x_1 = 2) = 0 \Longrightarrow \;$ (hebbare) Definitionslücke

$z(x_2 = 0) = -12 \Longrightarrow \;$ Polstelle

Bei $x_2 = 0$ liegt eine Polstelle vor. Demnach verläuft die senkrechte Asymptote durch $x = 0$:

senkrechte Asymptote

Die senkrechte Asymptote ist in diesem Fall die $y$-Achse, da diese durch $x = 0$ verläuft. Hier existiert ebenfalls eine waagerechte Asymptote, da der Zählergrad gleich dem Nennergrad. Die Definition der waagerechten Asymptote wird als nächstes betrachtet.

Waagerechte Asymptote

Für die Berechnung der waagerechten Asymptote müssen Zähler- und Nennergrad verglichen werden.

  • Ist der Nennergrad kleiner als der Zählergrad, so ist die waagerechte Asymptote die $x-Achse$.
  • Sind beide gleich, so resultiert eine waagerechte Asymptote, die eine Parallele zur $x$-Achse ist. Ihr Abstand von der $x$-Achse beträgt $y = \frac{a_n}{b_m}$.

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waagerechte Asymptoten:

  • $x$-Achse: Zählergrad < Nennergrad (n < m)
  • parallele Gerade zur $x$-Achse: $y = \frac{a_n}{b_m}$, wenn Zählergrad = Nennergrad (n = m)

Ist die waagerechte Asymptote eine Parallele zur $x$-Achse, so beträgt ihr Abstand von der $x$-Achse $\frac{a_n}{b_m}$.

Beispiel: waagerechte Asymptote

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{5x^2 + 6x +10}{x^3-4x+8}$. Bestimme bitte die waagerechte Asymptote!

Der Zählergrad $x^2$ ist kleiner als der Nennergrad $x^3$, damit ergibt sich: $n < m$. Die $x$-Achse ist demnach die waagerechte Asymptote der Funktion:

Waagerechte Asymptote

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die $x$-Achse die waagerechte Asymptote darstellt. Da hier der Nenner bei $x = -2,65$ den Wert null annimmt (Nullstellen des Nenners mittels Polynomdivision berechnen) und dies eine Polstelle darstellt, ergibt sich hier ebenfalls eine senkrechte Asymptote.

 

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2 + 2x +5}{4x^2-x+6}$. Bestimme bitte die waggerechte Asymptote(n)!

Zählergrad und Nennergrad sind gleich, es gilt: $n = m$. Der resultierende Quotient ist demnach der $y$-Wert, durch welchen die waagerechte Asymptote verläuft: $y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Asymptote
Waagerechte Asymptote

 

Schiefe Asymptote

Eine schiefe Asymptote ist liegt vor, wenn der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad.

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schiefe Asymptote: Zählergrad = Nennergrad + 1 (n = m + 1)

Die Berechnung der schiefen Asymptote wird wie folgt durchgeführt:

Methode

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1. Prüfung der Funktion, ob eine schiefe Asymptote vorliegt

2. Durchführung der Polynomdivision

3. Grenzwertbetrachtung

Beispiel: schiefe Asymptote

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - x}$. Bestimme die Gleichung der schiefen Asymptote!

Der Zählergrad $3$ ist um eins größer als der Nennergrad $2$. Es gilt demnach $n = m + 1$. Es liegt eine schiefe Asymptote vor. Die Berechnung wird wie folgt durchgeführt:

Polynomdivision:

Wir führen zunächst die Polynomdivison durch. Dafür dividieren wir den Nenner durch den Zähler:

$(x^3 + 0x^2 - 3x + 2) : (x^2 - x) = x + 1 - \frac{2}{x}$

$-(x^3 - x^2)$

_____________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x^2 - 3x$

$\;\;\;\;\;\;\;\; -(x^2 - x)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;$ ____________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -2x + 2$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -(-2x + 2)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ ______________

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, 0$

Als nächstes muss das Ergebnis aus der Polynomdivision betrachtet werden. Hierzu betrachten wir den Restbruch $- \frac{2}{x}$. Für diesen müssen wir eine Grenzwertbetrachtung für $x \to \pm \infty$ durchführen:

$\lim_{x \to \pm \infty} -\frac{2}{x} = 0$

Je größer die Werte von $x$ werden, desto mehr nähert sich der Bruch dem Wert null an. Der Graph der Funktion strebt also gegen die schiefe Asymptote $y = x + 1$.

schiefe Asymptote

In der obigen Grafik erkennst du deutlich, dass sich die Funktion an die schiefe Asymptote $y = x + 1$ annähert.

Berechnen wir mittels pq-Formel die Nullstellen des Nenners, so erhalten wir $x_1 = 0 \;$ und $\; x_2 = 1$. Das Einsetzen in die Zählerfunktion zeigt uns, dass für $x_2 = 1$ eine Definitionslücke für $f(x)$ vorliegt, da die Zählerfunktion den Wert $2$ annimmt. Für $x_1 = 0$ wird der Zähler $2$, woraus hier eine Polstelle für $f(x)$ resultiert. Guckstu Grafik!

Asymptotische Kurve

Eine gebrochenrationale Funktion besitzt eine asymptotische Kurve, wenn der Zählergrad um mehr als 1 größer ist als der Nennergrad.

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asymptotische Kurve: Zählergrad > Nennergrad + 1 (n = m + 1)

Das Vorgehen zu deren Berechnung enstpricht dem bei der schiefen Asymptote.