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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Asymptoten

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Asymptoten

Von einer Asymptote ist die Rede, wenn sich ein Graph einer Geraden annähert, ohne dass sich beide je berühren. Diese Gerade nennt sich Asymptote des Graphen. Betrachtet wird eine gebrochen rationale Funktion:

Methode

$ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} $

Senkrechte Asymptote

Eine gebrochen rationale Funktion besitzt eine senkrechte Asymptote, wenn der Nenner gleich Null wird, der Zähler bei diesem Wert aber ungleich Null. Liegt also eine Polstelle vor, so existiert eine senkrechte Asymptote.

Methode

$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; n(x) = 0 \; z(x) \neq 0$

Gegeben sei die folgende Funktion:

Beispiel

$f(x) = \frac{2x^2+2x-12}{6x^2-12x}$

Es werden also die Nennernullstellen berechnet und geprüft, ob es sich um eine Polstelle handelt.

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$n(x) = 6x^2 - 12x$  /6

$n(x) = x^2 - 2x$

$x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$

$x_1 = 2$

$x_2 = 0$

Einsetzen in den Zähler:

$z(x = 2) = 0$   hebbare Definitionslücke

$z(x = 0) = -12$  Polstelle

Bei $x = 0$ liegt eine Polstelle vor. Demnach verläuft die senkrechte Asymptote durch $x = 0$:

senkrechte Asymptote

Die senkrechte Asymptote ist in diesem Fall die $y$-Achse, da diese durch $x = 0$ verläuft. Hier existiert ebenfalls eine waagerechte Asymptote, da der Zählergrad gleich dem Nennergrad. Die Definition der waagerechten Asymptote wird als nächstes betrachtet.

Waagerechte Asymptote

Für die Berechnung der waagerechten Asymptote muss der Zähler- und Nennergrad herangezogen werden. Dabei gilt:

Methode

Zählergrad < Nennergrad (n < m): $x$-Achse ist waagerechte Asymptote

Zählergrad = Nennergrad (n = m): Parallele Gerade zur $x$-Achse $y = \frac{a_n}{b_m}$ ist Asymptote

Gegeben sei die folgende Funktion:

Beispiel

$f(x) = \frac{5x^2 + 6x +10}{x^3-4x+8}$

Der Zählergrad $x^2$ ist kleiner als der Nennergrad $x^3$, damit ergibt sich: $n < m$. Die $x$-Achse ist demnach die waagerechte Asymptote der Funktion:

Waagerechte Asymptote

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die $x$-Achse die waagerechte Asymptote darstellt. Da hier der Nenner bei $x = -2,65$ den Wert null annimmt (Nullstellen des Nenners mittels Polynomdivision berechnen) und dies eine Polstelle darstellt, ergibt sich hier ebenfalls eine senkrechte Asymptote.


Gegeben sei die folgende Funktion:

Beispiel

$f(x) = \frac{2x^2 + 2x +5}{4x^2-x+6}$

Zählergrad und Nennergrad sind gleich, es gilt: $n = m$. Der folgende Quotient ist demnach der $y$-Wert, durch welchen die Asymptote verläuft: $y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Diese verläuft parallel zur $x$-Achse:

Waagerechte Asymptote

Schiefe Asymptote

Eine schiefe Asymptote ist gegeben, wenn der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad:

Methode

Zählergrad = Nennergrad + 1 (n = m + 1): Schiefe Asymptote

Die Berechnung der schiefen Asymptote wird wie folgt durchgeführt:

Methode

1. Prüfung der Funktion, ob eine schiefe Asymptote vorliegt.

2. Durchführung der Polynomdivision.

3. Grenzwertbetrachtung.


Gegeben sei die folgende Funktion:

Beispiel

$f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - x}$

Der Zählergrad $x^3$ ist um eins größer als der Nennergrad $x^2$. Es gilt demnach: $n = m + 1$. Es liegt eine schiefe Asymptote vor. Die Berechnung wird wie folgt durchgeführt:

Polynomdivision

Zunächst erfolgt die Polynomdivison. Dafür wird der Nenner durch den Zähler dividiert:

$(x^3 + 0x^2 - 3x + 2) : (x^2 - x) = x + 1 - \frac{2}{x}$

$-(x^3 - x^2)$

---------------------

            $x^2 - 3x$

           $-(x^2 - x)$

          --------------------

                     $-2x + 2$

                   $-(-2x + 2)$

                  -----------------

                                $0$

Es muss als nächstes das Ergebnis aus der Polynomdivision betrachtet werden. Hierzu wird der Restbruch herangezogen: -$\frac{2}{x}$. Für diesen muss eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt werden für $x \to \pm \infty$:

$\lim_{x \to \pm \infty} -\frac{2}{x} = 0$

Je größer die Werte von $x$ werden, desto mehr nähert sich der Bruch in Richtung Null an. Der Graph der Funktion strebt also gegen die schiefe Asymptote $y = x + 1$:

schiefe Asymptote

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass sich die Funktion an die schiefe Asymptote $y = x + 1$ annähert. Da hier der Nenner bei $x_1 = 0$ und $x_2 = 1$ den Wert null annimmt (Nullstellen des Nenners mittels p/q-Formel berechnen), ergibt sich hier ebenfalls eine senkrechte Asymptote. Diese liegt bei $x_1 = 0$, weil hier eine Polstelle vorliegt.

Asymptotische Kurve

Eine asymptotische Kurve ist gegeben, wenn der Zählergrad um mehr als 1 größer ist als der Nennergrad:

Methode

Zählergrad > Nennergrad + 1 (n = m + 1): Asymptotische Kurve

Das Vorgehen enstpricht dem der schiefen Asymptote.