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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen

Nullstellen bei gebrochen rationalen Funktionen

Für die Ermittlung der Nullstellen gebrochen rationaler Funktionen wird der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochen rationalen Funktion wird gleich Null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert Null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: Definitionslücke). Ist der Nenner ungleich Null, so liegt eine Nullstelle der gebrochen rationalen Funktion vor.

Methode

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$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; z(x) = 0$ und $n(x) \neq 0$              Nullstelle der Funktion


Hierzu wird ein einfaches Beispiel aufgeführt:

Beispiel

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Gegeben sei die gebrochen rationale Funktion: $f(x)  = \frac{x-3}{x+1}$

Es wird zur Bestimmung der Nullstelle der Zähler herangezogen und gleich Null gesetzt:

$x-3 = 0$

$x = 3$


Dieser $x$-Wert wird nun in den Nenner eingesetzt: 

$3 + 1 = 4$ also $\neq 0$  Es liegt keine Definitionslücke vor!

Demnach ist $x = 3$ eine Nullstelle von $f(x)$.

Merke

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Die Ermittlung der Nullstellen bei gebrochen rationalen Funktionen erfolgt demnach nach dem Prinzip der Nullstellenermittlung ganzrationaler Funktionen (siehe vorherigen Abschnitt).

Definitionslücke bei gebrochen rationalen Funktionen

Wie bereits oben erwähnt liegt bei gebrochen rationalen Funktionen eine hebbare Definitionslücke oder Polstelle vor, wenn der Nenner null wird. 

  • Pole: Es liegt eine Polstelle vor, wenn der Nenner den Wert Null annimmt, der Zähler hingegen einen Wert ungleich Null. 

  • Hebbare Definitionslücke: Diese ist gegeben, wenn sowohl Nenner als auch Zähler den Wert Null annehmen. Man kann nun den Nenner und Zähler als Linearfaktoren darstellen, kürzen und damit den Definitionsbereich erweitern und die hebbare Definitionslücke aufheben. 

Methode

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$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; z(x) \neq 0$ und $n(x) = 0$              Polstelle

$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \; \to \; z(x) = 0$ und $n(x) = 0$             hebbare Definitionslücke


Hierzu wird ein Beispiel aufgeführt:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}$.

Für $x = 2$ wird der Nenner null. Damit liegt hier eine Definitionslücke vor. Ob es sich nun um eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke handelt, entscheidet dann der Zähler. Hierfür müssen die Nullstellen des Zählers bestimmt werden. Diese können mittels p/q-Formel bestimmt werden:

Methode

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$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$                      p/q-Formel

Es gilt: 

$p = -4$ und $q = 3$

Einsetzen in die Formel:

$x_{1,2} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2 -3}$    

$x_{1,2} = \frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2 - 3}$    

$x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{1}$

$x_1 = 3$

$x_2 = 1$

Die Zählernullstellen entsprechen nicht der Nennernullstelle. Das bedeutet, dass es sich bei der Nennernullstelle $x = 2$ um eine Polstelle handelt.

Die nachfolgende Grafik veranschaulicht die Nullstellen und die Polstelle der Funktion:

Definitionslücke
Definitionslücke

In der Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Funktion bei $x = 2$ nicht definiert ist. Dies kann man auch direkt an der Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}$ erkennen, da der Nenner bei $x = 2$ gleich Null wird und durch Null nicht dividiert werden darf, d.h. hier besteht eine Definitionslücke. Es handelt sich dabei um eine Polstelle, da der Zähler bei diesem Wert ungleich Null ist.