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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen

Nullstellen bei gebrochenrationalen Funktionen

Wie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen schon erwähnt haben, wird zur Ermittlung der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion wird gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: Definitionslücke). Ist der Nenner ungleich null, so liegt eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion vor.

Methode

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Nullstelle der Funktion: $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \;\;\;$ mit $\; z(x) = 0 \;$ und $\; n(x) \neq 0$

Beispiel: Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Beispiel

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Gegeben sei die gebrochenrationale Funktion $f(x)  = \frac{x-3}{x+1}$. Bestimme die Nullstellen!

Zur Bestimmung der Nullstelle wird der Zähler herangezogen und gleich null gesetzt:

$x - 3 = 0$

$x = 3$


Diesen $x$-Wert setzen wir nun in den Nenner ein: 

$3 + 1 = 4 \,$ und damit $\, \neq 0 \;\; \Longrightarrow \;$ Es liegt keine Definitionslücke vor!

Demnach ist $x = 3$ eine Nullstelle von $f(x)$.

Merke

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Die Ermittlung der Nullstellen bei gebrochenrationalen Funktionen erfolgt nach dem Prinzip der Nullstellenermittlung ganzrationaler Funktionen.

Definitionslücken bei gebrochenrationalen Funktionen

Du hast bereits im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen gelernt, dass bei gebrochenrationalen Funktionen eine hebbare Definitionslücke oder Polstelle vorliegt, wenn der Nenner null wird. Für Polstellen und hebbare Definitionslücken gilt:

Methode

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Polstelle:

  • $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \to \; z(x_0) \neq 0$ und $n(x_0) = 0$
  • $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \to \; z(x_0) = 0$ und $n(x_0) = 0$
    $\longrightarrow \; f_{fakt}(x) = \frac{z_{fakt.}(x)}{n_{fakt.}(x)} \;\; \to n_{fakt.}(x_0) = 0$

hebbare Definitionslücke:

  • $f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \to \; z(x_0) = 0$ und $n(x_0) = 0$
    $\longrightarrow \; f_{fakt}(x) = \frac{z_{fakt.}(x)}{n_{fakt.}(x)} \;\; \to n_{fakt.}(x_0) \neq 0$


$f_{fakt}(x)$ = faktorisierte Form von $f(x)$
$z_{fakt}(x)$ = faktorisierte Form der Zählerfunktion
$n_{fakt}(x)$ = faktorisierte Form der Nennerfunktion

Beispiel: Definitionslücken

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben sei die unecht gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}$. Liegt eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke vor?

Für $x = 2$ wird der Nenner null. Damit liegt hier eine Definitionslücke vor. Ob es sich nun um eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke handelt, entscheidet dann der Zähler. Hierfür müssen die Nullstellen des Zählers bestimmt werden. Diese können mittels pq-Formel bestimmt werden:

Methode

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pq-Formel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Wir setzen $p = -4$ und $q = 3$ in die Formel ein:

$x_{1,2} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2 -3}$    

$x_{1,2} = \frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2 - 3}$    

$x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{1}$

$x_1 = 3$

$x_2 = 1$

Die Zählernullstellen entsprechen nicht der Nennernullstelle. Das bedeutet, dass es sich bei der Nennernullstelle $x = 2$ um eine Polstelle handelt.

Die nachfolgende Grafik veranschaulicht die Nullstellen und die Polstelle der Funktion.

Definitionslücke
Definitionslücke ? Polstelle

In der Grafik siehst du deutlich, dass die Funktion bei $x = 2$ nicht definiert ist. Dies kannst du auch direkt an der Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}$ erkennen, da der Nenner bei $x = 2$ gleich null wird und durch null nicht dividiert werden darf. Hier besteht somit eine Definitionslücke. Es handelt sich dabei um eine Polstelle, da der Zähler bei diesem Wert ungleich null ist.