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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Hebbare Definitionslücke

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Hebbare Definitionslücke

Eine hebbare Definitionslücke ist gegeben, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler für einen bestimmten Wert für $x$ zu null wird. Der Begriff hebbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Definitionslücke behoben und damit der Definitionsbereich erweitert werden kann.

Methode

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Vorgehensweise:

  1. Nullstellen des Nenners bestimmen.
  2. Nullstellen des Zählers bestimmen: Resultiert dieselbe Nullstelle wie im Nenner, liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke vor.
  3. Zähler und Nenner faktorisieren und den Bruch kürzen.
  4. Gemeinsame Nullstelle aus 2. in den Nenner der gekürzten faktorisierten Funktion aus 3. einsetzen. Wird der Nenner ungleich null, so liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Wird der Nenner hingegen null, so liegt eine Polstelle vor.


In 4. muss nochmals überprüft werden, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt. Dafür wird der bei 2. ermittelte Wert (falls hebbare Lücke) in den Nenner eingesetzt.

  • Wird der Nenner ebenfalls null, resultiert eine Defintionslücke. Somit liegt eine Polstelle vor.
  • Wird der Nenner $\neq 0$, liegt eine hebbare Lücke vor.

Beispiel: Hebbare Definitionslücke

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion

$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} = \frac{2x^2 + 2x - 12}{6x^2 - 12x}$.

Prüfe, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt und behebe diese gegebenenfalls!

1. Nullstellen des Nenners bilden

$n(x) = 6x^2 - 12x \;\;\; |:6$

$n(x) = x^2 - 2x$

Methode

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pq-Formel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm\sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$

$x_1 = 2$
$x_2 = 0$


2. Nullstellen des Zählers bilden

$z(x) = 2x^2 + 2x - 12$ 

Methode

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Mitternachtsformel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, (-12)}}{2 \, \cdot \, 2}$    

$x_1 = 2$
$x_2 = -3$

alternativer Rechenweg:

Methode

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pq-Formel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Dafür muss zunächst x² alleine stehen:

$z(x) = 2x^2 + 2x - 12$     |:2

$z(x) = x^2 + x - 6$ 

mit $p = 1$ und $q = -6$


Anwendung der pq-Formel:

$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (-6)}$

$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 6)}$

$x_1 = -\frac{1}{2} + \sqrt{6,25} = 2$

$x_2 = -\frac{1}{2} - \sqrt{6,25} = -3$


Hinweis

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Für $x = 2$ werden sowohl der Zähler als auch der Nenner null. Es liegt somit möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor. Die Nullstelle $x = -3$ ist hingegen nicht gleich Nullstelle des Nenners und damit die Nullstelle der Funktion, da $n(-3) \neq 0$.

3. Zähler und Nenner faktorisieren

Zum Faktorisieren werden die Zähler- und Nennernullstellen herangezogen. Die Faktordarstellung ist allgemein gegeben zu:

Methode

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Faktordarstellung: $f(x) = a(x - x_1) (x - x_2)$


Dabei sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen der Funktion und $a$ der Faktor vor $x^2$.


Zähler faktorisieren:

$z(x) = 2x^2 + 2x - 12$   | a = 2


Wir haben die Nullstellen $x_1 = 2$ und $x_2 = -3$ ermittelt. Einsetzen in die Faktordarstellung:

$z(x) = 2 (x - 2) (x + 3)$


Nenner faktorisieren:

$n(x) = 6x^2 - 12x$      |a = 6


Wir haben die Nullstellen $x_1 = 2$ und $x_2 = 0$ ermittelt. Einsetzen in die Faktordarstellung:

$n(x) = 6 (x - 2) (x - 0)$

$n(x) = 6 (x - 2) x$


Insgesamt ergibt sich also die faktorisierte Funktion zu:

$f(x) = \frac{2 (x-2)(x+3)}{6x (x-2)}$

Wir können den Bruch kürzen:

$f(x) = \frac{2 (x-2)(x+3)}{6x (x-2)}$  |Kürzen von (x-2)

$f(x) = \frac{2 (x+3)}{6x}$   | Kürzen von 2/6 = 1/3

$f(x) = \frac{ (x+3)}{3x}$

Methode

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gekürzte faktorisierte Funktion: $f(x) = \frac{x+3}{3x}$

4. Erneut auf hebbare Lücke überprüfen

Die ermittelte mögliche hebbare Lücke lag bei $x = 2$ (für Nenner und Zähler liegt hier eine Nullstelle vor). Dieser Wert wird nun in den Nenner der gekürzten faktorisierten Funktion eingesetzt. Wird dieser ungleich null, so liegt eine hebbare Definitionslücke vor (anderenfalls eine Polstelle).

$x = 2$ in $n(x) = 3x$ einsetzen:

$n(2) = 3 \cdot 2 = 6$ -> $\neq 0$

Merke

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Der Nenner wird ungleich null, demnach liegt hier eine hebbare Definitionslücke vor.

5. Definitionsbereich erweitern

Der Definitionsbereich der Funktion kann dann wie folgt erweitert werden:

Einsetzen der hebbare Lücke $x = 2$ in den Bruch:

$f(x) = \frac{x+3}{3x} = 0,8\bar{3}$ 

$f(x) = \begin{cases} 0,8\bar{3} \; \; \; \text{für} \; x = 2 \\ f(x) \; \; \text{sonst} \end{cases}$

In der nachfolgenden Grafik ist die Funktion sowie die Nullstelle der Funktion bei $x = -3$ und die hebbare Definitionslücke bei $x = 2$ aufgezeigt. 

Hebbare Definitionslücke, Nullstelle, gebrochen rationale Funktion
Hebbare Defintionslücke und Nullstelle der Funktion