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Wie schon mehrmals erwähnt ist eine hebbare Definitionslücke gegeben, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler für einen bestimmten Wert für $x_0 = 0$wird. Der Begriff hebbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Definitionslücke behoben und damit der Definitionsbereich erweitert werden kann.
Methode
Vorgehensweise:
- Nullstellen des Nenners bestimmen.
- Nullstellen des Zählers bestimmen: Resultiert dieselbe Nullstelle wie im Nenner, liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke vor.
- Zähler und Nenner faktorisieren und den Bruch kürzen.
- Gemeinsame Nullstelle aus 2. in den Nenner der gekürzten faktorisierten Funktion aus 3. einsetzen. Wird der Nenner ungleich null, so liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Wird der Nenner hingegen null, so liegt eine Polstelle vor.
In 4. muss nochmals überprüft werden, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt. Dafür wird der bei 2. ermittelte Wert (falls hebbare Lücke) in den Nenner eingesetzt.
- Wird der faktorisierte Nenner ebenfalls null, resultiert eine Defintionslücke. Somit liegt eine Polstelle vor.
- Wird der Nenner $\neq 0$, liegt eine hebbare Lücke vor.
Beispiel: Hebbare Definitionslücke
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} = \frac{2x^2 + 2x - 12}{6x^2 - 12x}$.
Prüfe, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt und behebe diese gegebenenfalls!
1. Nullstellen des Nenners bestimmen
$n(x) = 6x^2 - 12x \;\;\; |:6$
$n(x) = x^2 - 2x$
Methode
pq-Formel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
$x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm\sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$
$x_1 = 2$
$x_2 = 0$
2. Nullstellen des Zählers bestimmen
$z(x) = 2x^2 + 2x - 12$
Methode
Mitternachtsformel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, (-12)}}{2 \, \cdot \, 2}$
$x_1 = 2$
$x_2 = -3$
alternativer Rechenweg:
Methode
pq-Formel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
Dafür muss zunächst der Koeffizient von $x^2$ herausgekürzt werden:
$z(x) = 2x^2 + 2x - 12$ |:2
$z(x) = x^2 + x - 6$
mit $p = 1$ und $q = -6$
Anwendung der pq-Formel:
$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (-6)}$
$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 6)}$
$x_1 = -\frac{1}{2} + \sqrt{6,25} = 2$
$x_2 = -\frac{1}{2} - \sqrt{6,25} = -3$
Hinweis
Für $x = 2$ werden sowohl der Zähler als auch der Nenner null. Es liegt somit möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor. Die Nullstelle $x = -3$ ist hingegen nicht gleich Nullstelle des Nenners und damit die Nullstelle der Funktion, da $n(-3) \neq 0$.
3. Zähler und Nenner faktorisieren
Zum Faktorisieren werden die Zähler- und Nennernullstellen herangezogen. Die Faktordarstellung ist allgemein gegeben zu:
Methode
Faktordarstellung: $f(x) = a(x - x_1) (x - x_2)$
Dabei sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen der Funktion und $a$ der Faktor vor $x^2$.
Zähler faktorisieren:
$z(x) = 2x^2 + 2x - 12$ | a = 2
Wir haben die Nullstellen $x_1 = 2$ und $x_2 = -3$ ermittelt. Einsetzen in die Faktordarstellung:
$z(x) = 2 (x - 2) (x + 3)$
Nenner faktorisieren:
$n(x) = 6x^2 - 12x$ |a = 6
Wir haben die Nullstellen $x_1 = 2$ und $x_2 = 0$ ermittelt. Einsetzen in die Faktordarstellung:
$n(x) = 6 (x - 2) (x - 0)$
$n(x) = 6 (x - 2) x$
Insgesamt ergibt sich also die faktorisierte Funktion zu:
$f(x) = \frac{2 (x-2)(x+3)}{6x (x-2)}$
Wir können den Bruch kürzen:
$f(x) = \frac{2 (x-2)(x+3)}{6x (x-2)}$ |Kürzen von (x-2)
$f(x) = \frac{2 (x+3)}{6x}$ | Kürzen von 2/6 = 1/3
$f(x) = \frac{ (x+3)}{3x}$
Methode
gekürzte faktorisierte Funktion: $f(x) = \frac{x+3}{3x}$
4. Erneut auf hebbare Lücke überprüfen
Die ermittelte mögliche hebbare Lücke lag bei $x = 2$ (für Nenner und Zähler liegt hier eine Nullstelle vor). Dieser Wert wird nun in den Nenner der gekürzten faktorisierten Funktion eingesetzt. Wird dieser ungleich null, so liegt eine hebbare Definitionslücke vor (anderenfalls eine Polstelle).
$x = 2$ in $n(x) = 3x$ einsetzen:
$n(2) = 3 \cdot 2 = 6 \; \rightarrow \; \neq 0$
Merke
Der Nenner wird ungleich null, demnach liegt hier eine hebbare Definitionslücke vor.
5. Definitionsbereich erweitern
Der Definitionsbereich der Funktion kann dann wie folgt erweitert werden:
Einsetzen der hebbare Lücke $x = 2$ in den Bruch:
$f(x) = \frac{x+3}{3x} = 0,8\bar{3}$
$f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2 + 2x - 12}{6x^2 - 12x} \;\;\; \vert x \in \mathbb{R}; x \neq 2 \\ 0,8\bar{3} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vert x = 2\end{cases}$
In der nachfolgenden Grafik ist die Funktion sowie die Nullstelle der Funktion bei $x = -3$ und die hebbare Definitionslücke bei $x = 2$ dargestellt.
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