Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Hebbare Definitionslücke

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Hebbare Definitionslücke

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Eine hebbare Definitionslücke ist gegeben, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler für einen bestimmten Wert für $x$ zu Null wird. Der Begriff hebbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Definitionslücke behoben und damit der Definitionsbereich erweitert werden kann.

Methode

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Vorgehensweise:

  1. Nullstellen des Nenners bestimmen.
  2. Nullstellen des Zählers bestimmen. Resultiert die selben Nullstelle wie in 1., liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke vor.
  3. Zähler und Nenner faktorisieren und den Bruch kürzen.
  4. Gemeinse Nullstelle aus 2. in den Nenner der gekürzten faktorisierte Funktion aus 3. einsetzen. Wird der Nenner ungleich Null, so liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Wird der Nenner hingegen zu Null, so liegt eine Polstelle vor.

In 4. muss nochmals überprüft werden, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt. Dafür wird der bei 2. ermittelte Wert (falls hebbare Lücke) in den Nenner eingesetzt. Resultiert eine Definitionslücke (wird der Nenner zu null), so liegt eine Polstelle vor, ansonsten eine hebbare Lücke.

Zum besseren Verständnis zeigen wir die obige Vorgehensweise an einem Beispiel:

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion

$f(x) = \frac{2x^2 + 2x - 12}{6x^2 - 12x}$

Prüfe, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt und behebe diese!

1. Nullstellen des Nenners bilden:

$n(x) = 6x^2 - 12x$   /6

$n(x) = x^2 - 2x$   /6

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm\sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$

$x_1 = 2$, $x_2 = 0$


2. Nullstellen des Zählers bilden:

$z(x) = 2x^2 + 2x - 12$ 

Methode

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$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$      Mitternachtsformel

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 2 \cdot -12}}{2 \cdot 2}$    

$x_1 = 2$, $x_2 = -3$

Für $x = 2$ wird sowohl der Zähler als auch der Nenner zu null, wenn $x = 2$ eingesetzt wird. Es liegt also eine mögliche hebbare Definitionslücke vor. 

3. Zähler und Nenner faktorisieren:

Zum Faktorisieren werden die Zähler- und Nennernullstellen herangezogen. Für $x = 2$ wird die 2 auf die linke Seite gebracht: $x - 2 = 0$, das selbe gilt für die anderen Nullstellen. Es ergibt sich dann die Funktion in Faktordarstellung wie folgt:

$f(x) = \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x-0)}$

$f(x) = \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)x}$


Bruch kürzen:

Methode

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$f(x) = \frac{x+3}{x}$             Gekürzte faktorisierte Funktion

4. Erneut auf hebbare Lücke überprüfen:

Die ermittelte mögliche hebbare Lücke lag bei $x = 2$ (für Nenner und Zähler liegt hier eine Nullstelle vor). Dieser Wert wird nun in den Nenner der gekürzten faktorisierten Funktion eingesetzt. Wird dieser zu Null, so liegt eine Polstelle vor, andernfalls eine hebbare Definitionslücke, d.h. also eine Lücke die behoben werden kann.

$x = 2$ in den Nenner einsetzen:

$n(x = 2) = 2$

Der Nenner wird nicht zu Null, demnach liegt hier eine hebbare Definitionslücke vor.

Der Definitionsbereich der Funktion kann dann wie folgt erweitert werden:

Einsetzen der hebbare Lücke $x = 2$ in den Bruch:

$f(x) = \frac{x+3}{x} = 2,5$

$f(x) = \begin{cases} 2,5 \; \; \; \text{für} \; x = 2 \\ f(x) \; \; \text{sonst} \end{cases}$


Video: Hebbare Definitionslücke