Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Hebbare Definitionslücke

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Hebbare Definitionslücke

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Eine hebbare Definitionslücke ist gegeben, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler für einen bestimmten Wert für $x$ zu Null wird. Der Begriff hebbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Definitionslücke behoben und damit der Definitionsbereich erweitert werden kann.

Methode

Vorgehensweise:

  1. Nullstellen des Nenners bestimmen.
  2. Nullstellen des Zählers bestimmen. Resultiert der selbe Wert wie in 1. liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke vor, ansonsten eine Polstelle.
  3. Zähler und Nenner faktorisieren, den Bruch kürzen.
  4. WICHTIG! Erneut prüfen, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt oder eine Polstelle.

In 4. muss nochmals überprüft werden, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt. Dafür wird der bei 2. ermittelte Wert (falls hebbare Lücke) in den Nenner eingesetzt. Resultiert eine Definitionslücke (wird der Nenner zu null), so liegt eine Polstelle vor, ansonsten eine hebbare Lücke.

Gegeben sei die Funktion

Beispiel

$f(x) = \frac{2x^2 + 2x - 12}{6x^2 - 12x}$

Prüfe, ob eine hebbare Definitonslücke vorliegt und behebe diese!

1. Nullstellen des Nenners bilden:

$n(x) = 6x^2 - 12x$   /6

$n(x) = x^2 - 2x$   /6

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm\sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - 0}$

$x_1 = 2$, $x_2 = 0$


2. Nullstellen des Zählers bilden:

$z(x) = 2x^2 + 2x - 12$ 

Methode

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$      Mitternachtsformel

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 2 \cdot -12}}{2 \cdot 2}$    

$x_1 = 2$, $x_2 = -3$

Für $x = 2$ wird sowohl der Zähler als auch der Nenner zu null, wenn $x = 2$ eingesetzt wird. Es liegt also eine mögliche hebbare Definitionslücke vor. 

3. Zähler und Nenner faktorisieren:

Zum Faktorisieren werden die Zähler- und Nennernullstellen herangezogen und auf eine Seite gebracht:

$f(x) = \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x-0)}$

$f(x) = \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)x}$


Bruch kürzen:

$f(x) = \frac{x+3}{x}$

4. Erneut auf hebbare Lücke überprüfen:

Die ermittelte mögliche hebbare Lücke lag bei $x = 2$. Der Nenner wird nicht zu null, es liegt demnach keine Definitionslücke vor. Es handelt sich also um eine hebbare Definitionslücke. 

Der Definitionsbereich der Funktion kann dann wie folgt erweitert werden:

Einsetzen der hebbare Lücke $x = 2$ in den Bruch:

$f(x) = \frac{x+3}{x} = 2,5$

$f(x) = \begin{cases} 2,5 \; \; \; \text{für} \; x = 2 \\ f(x) \; \; \text{sonst} \end{cases}$

Video: Hebbare Definitionslücke