Inhaltsverzeichnis
Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.
Methode
I. Durchdividieren
II. Nullstellen des Nenners bestimmen
III. Ansatz der Partialbrüche
IV. Bestimmung der Koeffizienten
V. Integration
Beispiel
I. Durchdividieren
$\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$
Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann der Bruch $\frac{2x+3}{x^2-1}$ vereinfacht dargestellt werden:
II. Nullstellen des Nenners bestimmen
$\ x^2-1 \rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$
III. Ansatz der Partialbrüche
$\frac{2x+3}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$.
IV. Bestimmung der Koeffizienten
Hierbei muss man die neuen Zähler A und B bestimmen. Es empfiehlt sich die "Zuhaltemethode".
Für A: Multipliziere beide Seiten der Gleichung in III. mit $\ x-1$ und kürze.
$\frac{2x + 3}{x+1} = A + \frac{B(x-1)}{x+1}$ .
Setzt man nun $x = 1$ [Nullstelle von $x - 1$] so erhält man:
$\frac{2+3}{2} = A + \frac{B \cdot 0}{1+1} \rightarrow A = \frac{5}{2}$
Für B: Multipliziere beide Seiten der Gleichung in III. mit $\ x+1$ und setze $x = -1$ ein. Man erhält:
$\frac{-2+3}{-2} = B \rightarrow B = - \frac{1}{2}$
Es ergibt sich:
$\frac{2x + 3}{(x-1)(x+1)} = \frac{\frac{5}{2}}{x-1} + \frac{\frac{-1}{2}}{x+1}$
$= \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x-1} -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+1}$
V. Integration
$\int \frac{x^3 - 2x^2 + x + 5}{x^2 -1}dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$
$= \int (x - 2)dx + \frac{5}{2} \int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}$
= $\frac{x^2}{2}- 2x\ + \frac{5}{2} \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x+1| + C $
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen (Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen) aus unserem Online-Kurs Analysis und Lineare Algebra interessant.
-
Hebbare Definitionslücke
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Hebbare Definitionslücke (Elementare Funktionen) aus unserem Online-Kurs Analysis und Lineare Algebra interessant.