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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen

Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es  der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.

Methode

Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:

I. Durchdividieren
II. Nullstellen des Nenners bestimmen
III. Ansatz der Partialbrüche
IV. Bestimmung der Koeffizienten
V. Integration

Beispiel

Integriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx $
I. Durchdividieren

$\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$

Für $x-2$ besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann der Bruch $\frac{2x+3}{x^2-1}$ vereinfacht dargestellt werden:

II. Nullstellen des Nenners bestimmen

$\ x^2-1 \rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$

III. Ansatz der Partialbrüche

$\frac{2x+3}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$.

IV. Bestimmung der Koeffizienten

Hierbei muss man die neuen Zähler A und B bestimmen. Es empfiehlt sich die "Zuhaltemethode".

Für A: Multipliziere beide Seiten der Gleichung in III. mit $\ x-1$  und kürze.

$\frac{2x + 3}{x+1} = A + \frac{B(x-1)}{x+1}$ .

Setzt man nun  $x = 1$  [Nullstelle von $x - 1$] so erhält man:

$\frac{2+3}{2} = A + \frac{B \cdot 0}{1+1} \rightarrow A = \frac{5}{2}$ 

Für B:  Multipliziere beide Seiten der Gleichung in III. mit $\ x+1$  und setze  $x = -1$  ein. Man erhält: 

$\frac{-2+3}{-2} = B \rightarrow B = - \frac{1}{2}$

Es ergibt sich:

$\frac{2x + 3}{(x-1)(x+1)} = \frac{\frac{5}{2}}{x-1} + \frac{\frac{-1}{2}}{x+1}$  

$= \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x-1} -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+1}$     

V. Integration

$\int \frac{x^3 - 2x^2 + x + 5}{x^2 -1}dx = x - 2 + \frac{2x+3}{x^2-1}$

$= \int (x - 2)dx + \frac{5}{2} \int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}$

= $\frac{x^2}{2}- 2x\ + \frac{5}{2} \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x+1| + C $