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Regelungstechnik - LAPLACE-Rücktransformation

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LAPLACE-Rücktransformation

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Um nun wieder die Zeitfunktion $ f(t) $ ermitteln zu können, verwenden wir ausgehend von der LAPLACE-Transformation $ f(s)$ eine komplexe Umkehrformel, die LAPLACE-Rücktransformation. Die LAPLACE-Rücktransformation wird formal beschrieben durch:

Methode

LAPLACE-Rücktransformation:       

$ f(t) = \frac{1}{2 \; \pi \; j} \oint f(s) \cdot e^{st} \; ds = L^{-1} \{f(s) \}$

Achte bei der Rücktransformation darauf, dass Du den geschlossenen Integrationsweg in der komplexen Zahlenebene um alle Polstellen der LAPLACE-Transformierten $ f(s) $ führst.

Als Polstellen der LAPLACE-Transformierten $ f(s) $ bezeichnet man alle Werte von s, bei denen der Nenner von $ f(s)$ die Null sind. 


Bei der LAPLACE-Rücktransformation kommt der Residuensatz zum Einsatz. Dies äußert sich in Bezug auf die vorherige Gleichung in der formalen Schreibweise, wie folgt:

Methode

LAPLACE-Rücktransformation mit Residuensatz: 

$ f(t) = \frac{1}{2 \; \pi \; j} \oint f(s) \cdot e^{st} \; ds = \sum_{i=1}^{n} Res[f(s) \cdot e^{st} ] $

 
Die Zeitfunktion $ f(t) $ entspricht dabei der Summe aller Residuen an allen Polstellen von $ f(s) \cdot e^{st}$. Die formale Schreibweise für ein Residuum einer k-fachen Polstelle $ s = s_{p1} $ ist:

Methode

Residuum: 

$ Res|_{s = s_{p1}} = \frac{1}{(k-1)!} \cdot \frac{d^{k-1}}{ds^{k-1}} \cdot [f(s) \cdot e^{st} \cdot (s - s_{p1})^k|_{s = s_{p1}} $

Anwendungsbeispiel:

Beispiel

Dies auf den ersten Blick nicht gerade einfache Vorgehen möchten wir Dir anhand der nachfolgenden Beispiele für eine einfache, dreifache und k-fache Polstelle näherbringen.


1. einfache Polstelle

Methode

LAPLACE-transformierte Funktion: $ f (s) = \frac{1}{s + a} $        mit $ k = 1 $ und $ s_{p1} = -a $


Die zugehörige Zeitfunktion hat dann die Form:

Methode

Zeitfunktion: $ f(t) = Res|_{s = -a} = \frac{1}{(1-1)!} \cdot \frac{d^0}{ds^0} [ \frac{1}{s + a} \cdot e^{st} \cdot (s + a)]|_{s = -a} = e^{-at}$. 

2. dreifache Polstelle

Methode

LAPLACE-transformierte Funktion bei $ s_1 = 0: f(s) = \frac{1}{s^3} $     mit $ k = 3 $ und $ s_{p1} = 0 $


Die zugehörige Zeitfunktion ist dabei:

Methode

Zeitfunktion: $ f(t) = Res|_{s = 0 } = \frac{1}{(3-1)!} \cdot t^{3-1} \cdot e^{0 \cdot t} = \frac{1}{2} \cdot t^2 $


3. k-fache Polstelle

Methode

LAPLACE-transformierte Funktion: $ f(s) = \frac{1}{(s + a)^k} $      mit $ k > 1 $ und $ s_{p1} = -a $


Die zugehörige Zeitfunktion ist:

Methode

Zeitfunktion: $ Res|_{s = -a} = \frac{1}{(k -1)!} \cdot \frac{d^{k-1}}{ds^{k-1}} \cdot [ \frac{1}{(s + a)^k} \cdot e^{st} \cdot (s + a)^k]|_{s = -a} = \frac{1}{(k - 1)!} \cdot t^{k-1} \cdot e^{-at}$.