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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Stetigkeit einer Funktion

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Stetigkeit einer Funktion

Eine Funktion  $f$  mit  $x \in D_f$  heißt an der Stelle  $x_0$  stetig, wenn

  1. $x_0 \in D_f$

  2. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = G$   mit  $G \in \mathbb{R}$

  3. $G = f(x_0)$.

Merke

In Worten: Eine Funktion  $f$  heißt an der Stelle  $x_0$  stetig, wenn  $x_0$  innerhalb des Definitionsbereiches  $D_f$  liegt, der Grenzwert von  $f$  an der Stelle  $x_0$  existiert und der Grenzwert  $G$  mit dem Funktionswert  $f(x_0)$  an der Stelle  $x_0$  übereinstimmt.

Die Funktion  $f$  heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist.

Anschaulich bedeutet dies: Funktionen die innerhalb ihres Definitionsbereiches nicht unterbrochen sind, sind stetig. Funktionen hingegen die einen Sprung aufweisen, sind unstetig.

Stetigkeit
Unstetigkeit von Funktionen

Ob eine Funktion stetig ist oder nicht kann mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert bestimmt werden. Sind diese gleich und der ermittelte Wert stimmt mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein, so ist die Funktion an der betrachteten Stelle stetig.

Methode

Rechtsseitiger Grenzwert: $\lim_{h \to 0} f(x_0 + h)$

Linksseitiger Grenzwert: $\lim_{h \to 0} f(x_0 - h)$

Beide Grenzwerte müssen gleich sein und der Funktionswert $f(x_0)$ muss mit diesem Grenzwert übereinstimmen. Dann ist die Funktion stetig.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion  $f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1}$.  Untersuche die Funktion auf Stetigkeit!

An der Stelle  $x_0 = 1$ ist die Funktion nicht definiert, da der Nenner den Wert  $0$  annimmt. Es ist nicht möglich einen Grenzwert $G$ für $x \to 1$ zu bestimmen (siehe vorheriges Kapitel: Grenzwerte für undefinierte Stellen). Die Funktion ist demnach nicht stetig. 

Das Verhalten der Funktion bei Annäherung sowohl von links als auch von rechts an die Definitionslücke ergibt:

Rechtsseitige Annäherung

$\lim\limits_{h \to 0} = \frac{2 (1 + h) - 4}{(1 + h) - 1}$                                        

$\lim\limits_{h \to 0} = \frac{2 + 2h - 4}{h}$    


Da $h$ gegen $0$ divergiert und durch null nicht geteilt werden darf, setzen wir $h = \frac{1}{n}$ mit $n \to \infty$:

$\lim\limits_{n \to \infty} = \frac{\frac{2}{n} - 2}{\frac{1}{n}}$

$\lim\limits_{n \to \infty} = (\frac{2}{n} - 2) \cdot n$                                        

$\lim\limits_{n \to \infty} = 2 - 2n = -\infty$      

Linksseitige Annäherung

$\lim\limits_{x \to 1 - h} = \frac{2 (1 - h) - 4}{(1 - h) - 1}$                                           Ersetzen: $h = \frac{1}{n}$

$\lim\limits_{n \to \infty} = \frac{2 (1 - \frac{1}{n}) - 4}{(1 - \frac{1}{n}) - 1}$   

$\lim\limits_{n \to \infty} = \frac{-\frac{2}{n} - 2}{-\frac{1}{n}}$      

$\lim\limits_{n \to \infty} = (-\frac{2}{n} - 2) \cdot -n$                                           

$\lim\limits_{n \to \infty} = 2 + 2n = \infty$    

Definitionslücke
 $f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1}$