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Stetigkeit von Funktionen
Eine mathematische Funktion $f$ heißt an der Stelle $x_0$ stetig, wenn:
- der Funktionswert $f(x_0)$ definiert ist.
- der Grenzwert $G = \lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ existiert. $\;$ $(G \in \mathbb{R})$
- der Grenzwert $G$ mit dem Funktionswert $f(x_0)$ übereinstimmt. $\to G = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Ist eine Funktion an der Stelle $x_o$ nicht definiert, so brauchst du dich nicht zu fragen, ob diese in $x_0$ stetig ist.
Beispiel
Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ ist in $x_0 = 1$ weder stetig noch unstetig. Sie ist dort einfach nicht definiert.
Damit wir eine Funktion stetig nennen können, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
Merke
Eine beliebige Funktion heißt stetige Funktion, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs $D_f$ stetig ist.
Anders formuliert bedeutet dies, dass Funktionen stetig sind, die innerhalb ihres Definitionsbereiches nicht unterbrochen sind. Beispiele für stetige Funktionen sind:
- rationale Funktionen wie die lineare, die quadratische oder die Potenzfunktion
- bestimmte trigonometrische Funktionen wie die Sinusfunktion
- Exponential oder Wurzelfunktionen
- weitere differenzierbare Funktionen
Unstetigkeit von Funktionen
Eine mathematische Funktion $f$ heißt an der Stelle $x_0$ unstetig, wenn
- der Funktionswert $f(x_0)$ definiert ist.
$\;\;\;\;$ und mindestens eine der beiden Aussagen zutrifft: - Der Grenzwert $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ existiert nicht.
- Der Grenzwert $G = f(x)$ stimmt nicht mit dem Funktionswert $f(x_0)$ überein. $\to G = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$
Hinweis
Denke daran, du kannst nur die Stetigkeit einer Funktion an einer konkreten Stelle bestimmen, wenn diese definiert ist!
In vielen Quellen heißt auch eine Funktion unstetig, wenn sie an einer betrachteten Stelle nicht definiert ist!
Das liegt in der Verwendung des Begriffs Stetigkeit begründet. Er wird häufig für die globale Beschreibung einer Funktion verwendet. Die Stetigkeit ist jedoch eine lokale Eigenschaft einer Funktion.
Findest du also eine entsprechende Formulierung, dass eine Funktion $f$ an einer bestimmten, nicht definierten Stelle $x_0$ nicht stetig ist, so meint dies, dass die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ nicht stetig fortgesetzt werden kann!!!
Bestimmung der Stetigkeit von Funktionen
Ob eine Funktion stetig ist oder nicht, können wir mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert bestimmen. Dazu addieren bzw. subtrahieren wir einen beliebig kleinen Wert $h$ zu dem $x_0$ und lassen diesen gegen null konvergieren.
Methode
rechtsseitiger Grenzwert: $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 + h)$
linksseitiger Grenzwert: $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 - h)$
Sind diese
- gleich und
- der ermittelte Wert stimmt mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein,
so ist die Funktion an der betrachteten Stelle stetig:
Methode
1. $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 + h) = \lim\limits_{h \to 0} f(x_0 - h)$
2. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Beispiel 1 zur Bestimmung der Stetigkeit von Funktionen
Beispiel
Gegeben sei die lineare Funktion $f(x) = \begin{cases} x + 1 \; \vert x < 2 \\ x + 3 \; \vert x \geq 2 \end{cases} \;$.
Diese Funktion ist an der Stelle $x_0 = 2$ unstetig.
Beispiel 2 zur Bestimmung der Stetigkeit von Funktionen
Beispiel
Untersuche die Funktion auf Stetigkeit!
Wir sehen, dass an der Stelle $x_0 = 3$ ist die Funktion definiert ist. Wir können somit prüfen, ob die Funktion stetig ist, indem wir uns von links und rechts dem Grenzwert nähern.
Rechtsseitige Annäherung
Zuerst formen wir Zähler und Nenner der Funktion um:
$f(x) = \frac{x^2 - 9}{2x - 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{2 \, (x - 3)}$
Wir addieren $h$ und lassen es gegen null gehen:
$\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 + h) = \frac{(3 + h + 3) (3 + h - 3)}{2 \, (3 + h - 3)}$
$\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 + h) = \frac{6 + h}{2} = 3$
Linksseitige Annäherung
Wir formen um:
$f(x) = \frac{x^2 - 9}{2x - 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{2 \, (x - 3)}$
Wir substrahieren $h$ und lassen es gegen null gehen:
$\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 - h) = \frac{(3 - h + 3) (3 - h - 3)}{2 \, (3 - h - 3)}$
$\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 - h) = \frac{6 - h}{2} = 3$
Wie du siehst, ist die Funktion an der Stelle $x_0 =3$ stetig, da sie an dieser Stelle defininert ist, der rechts- und linksseitige Grenzwert gleich sind und dass der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.
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