Inhaltsverzeichnis
Eine Funktion $f$ mit $x \in D_f$ heißt an der Stelle $x_0$ stetig, wenn
- $x_0 \in D_f$
- $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = G$ mit $G \in \mathbb{R}$
- $G = f(x_0)$.
Merke
In Worten: Eine Funktion $f$ heißt an der Stelle $x_0$ stetig, wenn $x_0$ innerhalb des Definitionsbereiches $D_f$ liegt, der Grenzwert von $f$ an der Stelle $x_0$ existiert und der Grenzwert $G$ mit dem Funktionswert $f(x_0)$ an der Stelle $x_0$ übereinstimmt.
Die Funktion $f$ heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist.
Anschaulich bedeutet dies: Funktionen die innerhalb ihres Definitionsbereiches nicht unterbrochen sind, sind stetig. Funktionen hingegen die einen Sprung aufweisen, sind unstetig.
Ob eine Funktion stetig ist oder nicht kann mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert bestimmt werden. Sind diese gleich und der ermittelte Wert stimmt mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein, so ist die Funktion an der betrachteten Stelle stetig.
Methode
Rechtsseitiger Grenzwert: $\lim_{h \to 0} f(x_0 + h)$
Linksseitiger Grenzwert: $\lim_{h \to 0} f(x_0 - h)$
Beide Grenzwerte müssen gleich sein und der Funktionswert $f(x_0)$ muss mit diesem Grenzwert übereinstimmen. Dann ist die Funktion stetig.
Beispiel
An der Stelle $x_0 = 1$ ist die Funktion nicht definiert, da der Nenner den Wert $0$ annimmt. Es ist nicht möglich einen Grenzwert $G$ für $x \to 1$ zu bestimmen (siehe vorheriges Kapitel: Grenzwerte für undefinierte Stellen). Die Funktion ist demnach nicht stetig.
Das Verhalten der Funktion bei Annäherung sowohl von links als auch von rechts an die Definitionslücke ergibt:
Rechtsseitige Annäherung
$\lim\limits_{h \to 0} = \frac{2 (1 + h) - 4}{(1 + h) - 1}$
$\lim\limits_{h \to 0} = \frac{2 + 2h - 4}{h}$
Da $h$ gegen $0$ divergiert und durch null nicht geteilt werden darf, setzen wir $h = \frac{1}{n}$ mit $n \to \infty$:
$\lim\limits_{n \to \infty} = \frac{\frac{2}{n} - 2}{\frac{1}{n}}$
$\lim\limits_{n \to \infty} = (\frac{2}{n} - 2) \cdot n$
$\lim\limits_{n \to \infty} = 2 - 2n = -\infty$
Linksseitige Annäherung
$\lim\limits_{x \to 1 - h} = \frac{2 (1 - h) - 4}{(1 - h) - 1}$ Ersetzen: $h = \frac{1}{n}$
$\lim\limits_{n \to \infty} = \frac{2 (1 - \frac{1}{n}) - 4}{(1 - \frac{1}{n}) - 1}$
$\lim\limits_{n \to \infty} = \frac{-\frac{2}{n} - 2}{-\frac{1}{n}}$
$\lim\limits_{n \to \infty} = (-\frac{2}{n} - 2) \cdot -n$
$\lim\limits_{n \to \infty} = 2 + 2n = \infty$
Weitere Interessante Inhalte zum Thema
-
Stetigkeit und Unstetigkeit
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Stetigkeit und Unstetigkeit (Funktionen mehrerer Veränderlicher) aus unserem Online-Kurs Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen interessant.
