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Wie bei Funktionen mit einer Variablen kann auch für Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit definieren. Man kann dies aus der bereits in "Höhere Mathematik I" erlernten Definition ableiten:
Eine Funktion $f$ mit $x \in D_f$ heißt an der Stelle $(x_0, y_0)$ stetig, wenn
- $(x_0, y_0) \in D_f$
- $\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y) = G$ mit $G \in \mathbb{R}^2$
- $G = f(x_0, y_0)$.
Merke
In Worten: Eine Funktion $f$ heißt an der Stelle $(x_0, y_0)$ stetig, wenn $(x_0, y_0)$ innerhalb des Definitionsbereiches $D_f$ liegt, der Grenzwert von $f$ an der Stelle $(x_0, y_0)$ existiert und der Grenzwert $G$ mit dem Funktionswert $f(x_0, y_0)$ an der Stelle $(x_0, y_0)$ übereinstimmt.
Die Funktion $f$ heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist.
Dies bedeutet vereinfacht, eine stetige Funktion darf keine Sprünge machen.
Stetigkeit
Merke
Es soll gezeigt werden, dass
Beispiel
$\begin{equation} z = f(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{für } (x, y) = (0, 0) \\ x^2 + y^2 & \text{für} \; (x, y) \neq (0, 0)\end{cases} \end{equation} \; \; $ überall stetig ist.
Für $(x, y) \neq (0, 0)$ ist $f$ stetig als Zusammensetzung stetiger Funktionen. Hierfür muss nichts weiter gezeigt werden. Nur die Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt bzw. für $(x,y) = 0$ ist interessant.
Folgendefinition
Man kann dies z.B. anhand der Folgendefinition zeigen:
Merke
Folgendefinition:
$f$ ist in $x_0$ stetig, genau dann wenn für jede Folge ${x_n}$ mit $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0$ gilt:
$\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$.
Dies überträgt man dann auf $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n, y_n) = f(x_0, y_0)$.
Als erstes wird die Folge untersucht:
$\lim\limits_{x \to x_0} (\lim\limits_{y \to y_0})$:
$\lim\limits_{x \to 0} (\lim\limits_{y \to 0} x^2 + y^2) = \lim\limits_{x \to x_0} = x^2 = 0$
Danach die Folge:
$\lim\limits_{y \to y_0} (\lim\limits_{x \to x_0})$:
$\lim\limits_{y \to 0} (\lim\limits_{x \to 0}x^2 + y^2) = \lim\limits_{y \to y_0} = y^2 = 0$
Und zusätzlich noch die Folge:
$\lim\limits_{x \to x_0}$ mit $y = x$:
$\lim\limits_{x \to 0} x^2 + x^2 =0 + 0 = 0$
Da der Grenzwert überall den Wert $0$ aufweist, existiert dieser schonmal. Jetzt muss noch geprüft werden, ob der Funktionwert $f(0, 0)$ mit dem ermittelten Grenzwert übereinstimmt:
$f(0, 0) = 0$
Der Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert überein, d.h. dass die Funktion für $x,y =0$ stetig ist.
Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt
Man kann die Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:
$x = r \cos (\varphi)$
$y = r \sin (\varphi)$
und lässt $r$ gegen Null laufen.
Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.
Beispiel
Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation}$
$f(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) = \frac{r^2 \cos^2 (\varphi) \cdot r \sin (\varphi)}{r^2 \cos^2 (\varphi) + r^2 \sin^2 (\varphi)} = \frac{r^3 \cos^2 (\varphi) \cdot \sin (\varphi)}{r^2 \cos^2 (\varphi) + r^2 \sin^2 (\varphi)} = \frac{r^3}{r^2} \frac{\cos^2 (\varphi) \cdot \sin (\varphi)}{1}$
$= r(\cos^2 (\varphi) \cdot \sin (\varphi)) \; \underrightarrow{r \to 0} \; \; 0$
Der Grenzwert ist vom Winkel unabhängig und besitzt sogar den Wert Null, demnach ist die Funktion im Nullpunkt stetig.
Merke
Trigonometrische Umformungen:
$\cos^2 (\varphi) + \sin^2 (\varphi) = 1$
Unstetigkeit
Eine Funktion $\ z= f(x, y)$ ist bei $ (x_0,y_0)$ unstetig, falls zu zwei verschiedenen Kurven durch Annäherung von $(x_0, y_0) $ an $(x_0, y_0) $ verschiedene oder keine Grenzwerte gibt.
Beispiel
Gegeben sei die Funktion: $z = f(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ Es soll gezeigt werden, dass diese Funktion im Punkt $(0,0)$ nicht stetig ist.
Als erstes wird die Folge untersucht:
$\lim\limits_{x \to x_0} (\lim\limits_{(y \to y_0})$:
$\lim\limits_{x \to 0} (\lim\limits_{y \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{x}{\sqrt{x^2}} = 1$
Danach die Folge:
$\lim\limits_{y \to y_0} (\lim\limits_{(x \to x_0})$:
$\lim\limits_{y \to 0} (\lim\limits_{(x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}) = \lim\limits_{y \to y_0} \frac{0}{\sqrt{0 + y^2}} = 0$
Bereits hier wird deutlich, dass die Grenzwerte nicht übereinstimmen, demnach für den Punkt $(0,0)$ kein Grenzwert existiert und damit die Funktion nicht stetig ist.
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