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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Stetigkeit und Unstetigkeit

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Stetigkeit und Unstetigkeit

Wie bei Funktionen mit einer Variablen kann auch für Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit definieren. Man kann dies aus der bereits in "Höhere Mathematik I" erlernten Definition ableiten:

Eine Funktion  $f$  mit  $x \in D_f$  heißt an der Stelle  $(x_0, y_0)$  stetig, wenn

  1. $(x_0, y_0) \in D_f$

  2. $\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}  f(x,y)  = G$   mit  $G \in \mathbb{R}^2$

  3. $G = f(x_0, y_0)$.

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In Worten: Eine Funktion  $f$  heißt an der Stelle  $(x_0, y_0)$  stetig, wenn  $(x_0, y_0)$  innerhalb des Definitionsbereiches  $D_f$  liegt, der Grenzwert von  $f$  an der Stelle  $(x_0, y_0)$  existiert und der Grenzwert  $G$  mit dem Funktionswert  $f(x_0, y_0)$  an der Stelle  $(x_0, y_0)$  übereinstimmt.

Die Funktion  $f$  heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist.

 Dies bedeutet vereinfacht, eine stetige Funktion darf keine Sprünge machen.

Stetigkeit 

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Hier klicken zum Ausklappen Um eine Funktion mehrerer Veränderlicher auf Stetigkeit zu untersuchen, kann man zunächst einmal überprüfen, ob sie aus stetigen Funktionen zusammengesetzt sind. Daraus folgt dann die Stetigkeit der Funktion selbst.

Es soll gezeigt werden, dass

Beispiel

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$\begin{equation} z = f(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{für } (x, y) = (0, 0) \\  x^2 + y^2  & \text{für} \; (x, y) \neq (0, 0)\end{cases} \end{equation} \; \; $ überall stetig ist.

Für $(x, y) \neq (0, 0)$ ist $f$ stetig als Zusammensetzung stetiger Funktionen. Hierfür muss nichts weiter gezeigt werden. Nur die Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt bzw. für $(x,y) = 0$ ist interessant.

Folgendefinition

Man kann dies z.B. anhand der Folgendefinition zeigen: 

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Folgendefinition:

$f$ ist in $x_0$ stetig, genau dann wenn für jede Folge ${x_n}$ mit $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0$ gilt:

$\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$.

Dies überträgt man dann auf $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n, y_n) = f(x_0, y_0)$.

Als erstes wird die Folge untersucht:

$\lim\limits_{x \to x_0} (\lim\limits_{y \to  y_0})$:

$\lim\limits_{x \to 0} (\lim\limits_{y \to  0} x^2 + y^2) = \lim\limits_{x \to x_0} = x^2 = 0$

Danach die Folge:

$\lim\limits_{y \to y_0} (\lim\limits_{x \to  x_0})$:

$\lim\limits_{y \to 0} (\lim\limits_{x \to  0}x^2 + y^2) = \lim\limits_{y \to y_0} = y^2 = 0$

Und zusätzlich noch die Folge:

$\lim\limits_{x \to x_0}$ mit $y = x$:

$\lim\limits_{x \to 0} x^2 + x^2 =0 + 0 = 0$

Da der Grenzwert überall den Wert $0$ aufweist, existiert dieser schonmal. Jetzt muss noch geprüft werden, ob der Funktionwert $f(0, 0)$ mit dem ermittelten Grenzwert übereinstimmt:

$f(0, 0) = 0$

Der Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert überein, d.h. dass die Funktion für $x,y =0$ stetig ist.

Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt

Man kann die Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:

$x = r \cos (\varphi)$

$y = r \sin (\varphi)$

und lässt $r$ gegen Null laufen.

Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel $\varphi$ ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $\begin{equation} z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & \text{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation}$

$f(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)) = \frac{r^2 \cos^2 (\varphi) \cdot r \sin (\varphi)}{r^2 \cos^2 (\varphi) + r^2 \sin^2 (\varphi)} = \frac{r^3 \cos^2 (\varphi) \cdot  \sin (\varphi)}{r^2 \cos^2 (\varphi) + r^2 \sin^2 (\varphi)} = \frac{r^3}{r^2} \frac{\cos^2 (\varphi) \cdot  \sin (\varphi)}{1}$

$= r(\cos^2 (\varphi) \cdot  \sin (\varphi)) \; \underrightarrow{r \to 0} \; \; 0$

Der Grenzwert ist vom Winkel unabhängig und besitzt sogar den Wert Null, demnach ist die Funktion im Nullpunkt stetig.

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Trigonometrische Umformungen:

$\cos^2 (\varphi) + \sin^2 (\varphi) = 1$

Unstetigkeit

Eine Funktion $\ z= f(x, y)$ ist bei $ (x_0,y_0)$ unstetig, falls zu zwei verschiedenen Kurven durch Annäherung von $(x_0, y_0) $ an $(x_0, y_0) $ verschiedene oder keine Grenzwerte gibt. 

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion: $z = f(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ Es soll gezeigt werden, dass diese Funktion im Punkt $(0,0)$ nicht stetig ist.

Als erstes wird die Folge untersucht:

$\lim\limits_{x \to x_0} (\lim\limits_{(y \to  y_0})$:

$\lim\limits_{x \to 0} (\lim\limits_{y \to  0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{x}{\sqrt{x^2}} = 1$

Danach die Folge:

$\lim\limits_{y \to y_0} (\lim\limits_{(x \to  x_0})$:

$\lim\limits_{y \to 0} (\lim\limits_{(x \to  0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}) = \lim\limits_{y \to y_0} \frac{0}{\sqrt{0 + y^2}} = 0$

Bereits hier wird deutlich, dass die Grenzwerte nicht übereinstimmen, demnach für den Punkt $(0,0)$ kein Grenzwert existiert und damit die Funktion nicht stetig ist.