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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen

In diesem Abschnitt folgen einige Anwendungsbeispiele zu den vorherigen Abschnitten.

Intervalle

Beispiel

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Gegeben seien die folgenden Intervalle der reellen Zahlen:

a) offenes Intervall von $3$ bis $\frac{14}{3}$

b) rechts halboffenes Intervall von $x_1$ bis $x_2$

c) links halboffenes Intervall von $\frac{5}{8}$ bis $z$

d) geschlossenes Intervall von $-15$ bis $0$

e) das Intervall aller Zahlen größer oder gleich $3$

f) das Intervall aller Zahlen kleiner als $2$

Gib bitte diese als Klammerausdruck und in beschreibender Weise wieder!

a) $(3 , \frac{14}{3} ) $

$\{x \in \mathbb{R} | 3 < x < \frac{14}{3} \}$

b) $[x_1, x_2)$

$\{x \in \mathbb{R} |x_1 \le x < x_2 \}$

c) $(\frac{5}{8}, z]$

$\{x \in \mathbb{R} | \frac{5}{8} < x \le z \}$

d) $[−15, 0 ]$

$\{ x \in \mathbb{R} | − 15 \le x \le 0 \}$

e) $[3, \infty)$

$\{x \in \mathbb{R} |3 \le x \}$

f) $(-\infty, 2)$

$\{x \in \mathbb{R} |x < 2 \}$

Beispiel

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Bestimme bitte jeweils, ob es sich bei den angegebenen Mengen um Intervalle handelt. Gib in diesem Fall bitte die Intervallschreibweise an!

a) $[0, 1] \cup (1, 2]$

b) $[−1, 0] \cup [2, 3]$

c) $[−2, 3] \cap (−2, 4)$

d) $(2, 5] \backslash (4, 5]$

e) $(−\infty, 5] \cap (1, 6)$

f) $\{x^2 | x \in \mathbb{R} \}$

g) $\{x \in \mathbb{R} | x < 0 \}$

h) $\{\frac{1}{x} | x \in \mathbb{N} \}$

a) $[0, 1] \cup (1, 2]$

Es handelt sich hierbei um die Zahlen von einschließlich 0 bis einschließlich 1 und um die Zahlen von ausschließlich 1 bis einschließlich 2. Diese sollen nun miteinander vereinigt werden. Es handelt sich demnach um die Zahlen von einschließlich 0 bis einschließlich 2:
$[0,2]$

b) $[−1, 0] \cup [2, 3]$

Hierbei handelt es sich um kein Intervall. Denn es existiert eine Lücke zwischen null und zwei. $ \longrightarrow (0,2)$

c) $[−2, 3] \cap (−2, 4)$

Hier muss der Durchschnitt gebildet werden. Dieser beinhaltet die Zahlen aus dem linken UND aus dem rechten Intervall. Die $-2$ wird im rechten Intervall ausgeschlossen und darf somit nicht zum Durchschnitt gezählt werden. Die $4$ kommt dafür im linken Intervall nicht vor und darf demnach ebenfalls nicht zum Durchschnitt gezählt werden. Das linke Intervall geht nur bis einschließlich $3$. Die $3$ kommt auch um rechten Intervall vor, demnach wird sie mitberücksichtigt:

$(-2, 3]$

d) $(2, 5] \backslash (4, 5]$

Hier ist die Differenz zu bilden. Wörtlich bedeutet dies:  $(2, 5]$ ohne $(4, 5]$

$ \longrightarrow (2, 4]$

e) $(−\infty, 5] \cap (1, 6)$

Hier muss der Durchschnitt gebildet werden. Dieser beinhaltet die Zahlen aus dem linken UND aus dem rechten Intervall. Die $1$ wird im rechten Intervall ausgeschlossen und darf somit nicht zum Durchschnitt gezählt werden. Sie stellt die linke Grenze dar. Die $5$ wird in beiden Intervallen berücksichtigt und stellt die rechte Grenze dar:

$(1, 5]$

f) $\{x^2 | x \in \mathbb{R} \}$

Aufgrund des Quadrates werden aus negativen ebenfalls positive Zahlen. Die Ergebnisse befinden sich demnach im Intervall:

$[0, \infty)$

g) $\{x \in \mathbb{R} | x < 0 \}$

$(−∞, 0)$

h) $\{\frac{1}{x} | x \in \mathbb{N} \}$

Hierbei handelt es sich um kein Intervall. Setzen wir für $x$ nur natürliche Zahlen $\mathbb{N} = \{1,2,3,..\}$ ein, so ergeben sich die Werte $\frac{1}{x} = \{1, 0,5, 0,333, ... \}$. Das sind Zahlen zwischen $0$ und $1$, jedoch nicht alle Zahlen zwischen $0$ und $1$. Zum Beispiel ist die Zahl $0,55$ dort nicht enthalten, weshalb wir hier von keinem Intervall sprechen können.

Supremum, Infimum

Beispiel

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Gib bitte das Supremum bzw. Infimum an! Handelt es sich hierbei auch um Maxima bzw. Minima?

a) $[0, 2]$

b) $(0, 2)$

c) $\{2, 6 \}$

d) $\{\pi,e\}$

e) $\{1 + \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \}$

f) $\{0 \}$

g) $[0, 2] \cup [3, 4]$

h) $\{z \in \mathbb{Q} | z < 3 \}$

i) $\{z \in \mathbb{Q}| z^2 < 9 \}$

j) $\{z \in \mathbb{Q}| z^2 < 5 \}$

Die kleinere Zahl ist stets das Infimum und die größere Zahl das Supremum. Wird die kleinere Zahl mit eingeschlossen, so liegt ebenfalls ein Minimum vor, wird die größere Zahl mit eingeschlossen so liegt zusätzlich ein Maximum vor.

a) $[0, 2]$

$0 (inf, min), 2 (sup,max) \longrightarrow $ Die Zahl $0$ ist das Infimum und das Minimum. Die Zahl $2$ ist das Supremum und das Maximum.

b) $(0, 2)$

$0 (inf), 2 (sup) \longrightarrow $ Die Zahl $0$ ist das Infimum, aber nicht das Minimum, da diese ausgeschlossen wird. Die Zahl $2$ ist das Supremum, aber nicht das Maximum, da diese ausgeschlossen wird.

c) $\{2, 6 \}$

$2 (inf,min), 6 (sup,max) \longrightarrow $ Die Zahl $2$ ist das Infimum und das Minimum. Die Zahl $6$ ist das Supremum und das Maximum.

d) $\{\pi,e\}$

$e (inf, min), \pi (sup,max) \longrightarrow $ Die geschweiften Klammern geben nur die Menge der Zahlen wider. Hierbei ist dies zum einen die Kreiszahl $\pi = 3,14159$ und zum anderen die Eulersche-Zahl $e = 2,71828$. Die Eulersche-Zahl ist kleiner als die Kreiszahl, weshalb $e$ Infimum und gleichzeitig Minimum und $\pi$ Supremum und gleichzeitig Maximum ist.

e) $\{1 + \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \}$

$1 (inf), 2 (sup, max) \longrightarrow $ Die natürlichen Zahlen sind $\mathbb{N} = \{1,2,3, .. \}$. Gibt man nun die kleinste natürliche Zahl $1$ ein, so wird $1 + \frac{1}{n} = 2$. Das bedeutet also hier liegt das Supremum und gleichzeitig das Maximum vor. Gibt man für die größte natürliche Zahl näherungsweise eine sehr große gerade Zahl ein, so strebt der Term $1 + \frac{1}{n}$ gegen $1$. Die $1$ wird aber nur erreicht, wenn der Wert $0$ eingegeben wird und dieser gehört sich zu den natürlichen Zahlen. Deswegen ist die $1$ zwar das Infimum aber nicht das Minimum.

f) $\{0 \}$

$0 (inf, min), 0 (sup,max)$

g) $[0, 2] \cup [3, 4]$

Die Vereinigung der beiden Intervalle. Das bedeutet, alle Zahlen, die im ersten und im zweiten sowie in beiden vorkommen, wobei doppelte Zahlen einfach gezählt werden. Das Intervall ergibt sich dann zu:

$[0,4]$

$0 (inf,min), 4 (sup,max)$

h) $\{z \in \mathbb{Q} | z < 3 \}$

Es exsitiert kein Infiumum und demnach auch kein Minimum, da das Intervall nach unten unbeschränkt ist. Nach oben ist es aber beschränkt und es gilt:

$- , 3 (sup)$

i) $\{z \in \mathbb{Q}| z^2 < 9 \}$

$-3 (inf) , 3 (sup) \longrightarrow $ Auflösen nach $z$ ergibt: $z_1 = \pm \sqrt{9}$ und damit $z_1 = 3$ und $z_2 = -3$.

j) $\{z \in \mathbb{Q}| z^2 < 5 \}$

$-\sqrt{5} (inf), \sqrt{5} (sup)$

Mengen: Vereinigung und Mächtigkeit

Beispiel

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Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit gleich der Anzahl der Elemente der Menge. Bestimme bitte die Mächtigkeit folgender Mengen!

a) $A = \{1, 2, 3, 4 \}$

b) $B = \{a, b, c, 10 \}$

c) $C = A \cup B \cup \{0, . . . , 12 \}$

d) $D = (A \cup B) \cap \{0, . . . , 12 \}$

Die Mächtigkeit einer Menge $X$ wird durch $|X|$ angegeben.

a) $|A| = 4$

b) $|B| = 4$

c) Wir bilden zunächst die Vereinigung der Mengen $A$ und $B$ aus den Aufgaben a) und b).
$ \longrightarrow C = A \cup B = \{1,2,3,4,a,b,c,10 \}$

$A \cup B \cup \{0, . . . , 12 \} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,a,b,c \}$

$|C| = 16$

d) Wir bilden wieder zunächst die Vereinigung der Mengen $A$ und $B$.
$ \longrightarrow A \cup B =  \{1,2,3,4,a,b,c,10 \}$

$(A \cup B) \cap \{0, . . . , 12 \} = \{1,2,3,4,10\}$

$|D| = 5$

Binominalkoeffizient

Beispiel

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Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus einem Skatspiel (32 Karten) ein Blatt aus 10 Karten zu bekommen?

${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

${32\choose 10} = \frac{32!}{10!(32-10)!}$

$= \frac{32!}{10!22!}$

$= \frac{1 \cdot 2 \cdot ... 10 \cdot ... \cdot 32}{10! \cdot 1 \cdot ... \cdot 10 \cdot ... \cdot 22}$


Kürzen von 1 bis 10 im Zähler und Nenner:

$= \frac{11 \cdot ... \cdot 32}{10! 11 \cdot ... \cdot 22}$

Kürzen von 11 bis 22 im Zähler und Nenner:

$= \frac{23 \cdot ... \cdot 32}{10!} $

$= \frac{23 \cdot ... \cdot 32}{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 10} $

$= \frac{23\cdot 24 \cdot 25 \cdot 26 \cdot 27 \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30 \cdot 31 \cdot 32}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10} = 64.512.240$

Beispiel

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Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit exakt 2 Damen und 4 Könige zu bekommen?

Es sollen aus 4 Damen 2 gezogen werden und aus 4 Königen genau 4:

${4 \choose 2} \cdot {4 \choose 4} \cdot {24 \choose 4} $

Der letzte Faktor ergibt sich, weil ja 10 Karten aus 32 gezogen werden sollen und 6 Karten aus 8 bereits definiert sind (erster und zweiter Faktor), es bleiben also noch 4 aus 24:

$=\frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{4!}{4!(4-4)!} \cdot \frac{24!}{4!(24-4)!}$

$=\frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{4!}{4!0!} \cdot \frac{24!}{4!20!}$

$=\frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 2} \cdot 1 \cdot \frac{21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$

$=6 \cdot 1 \cdot 10.626 = 63.756$

Es gibt davon 63.756 Fälle. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei:

$\frac{63.756}{64.512.240} \approx 0,099% $.

Beispiel

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Existieren mehr Lottozahlen "6 aus 49" oder mehr Skatblätter "10 aus 32"?

Lottozahlen: ${49 \choose 6} = 13.983.816$.

Skatblätter: ${32 \choose 10} = 64.512.240$.

Es gibt daher $\frac{64.512.240}{13.983.816} \approx 4,6$-mal mehr Skatblätter.