Schranken (Supremum, Infimum)

Ist eine Menge nach oben oder nach unten beschränkt, so existiert eine obere oder eine untere Schranke.

Obere und untere Schranke

Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach oben beschränkt, wenn $M \subseteq (-\infty, b]$ mit $b \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $b$ eine obere Schranke von $M$. 

Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach unten beschränkt, wenn $M \subseteq [a, \infty)$ mit $a \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $a$ eine untere Schranke von $M$. 

Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist beschränkt, wenn sie eine untere Schranke $a$ und eine obere Schranke $b$ besitzt. Es gilt $M \subseteq [a, b]$.

Supremum

Das Supremum einer Menge $M$ ist ein Element, welches oberhalb (jenseits) aller anderen Elemente in $M$ liegt. Das bedeutet, dass das Supremum nicht nur das größte Element unter den anderen Elementen sein muss, sondern auch jenseits der Menge $M$ liegen kann. Das Supremum ist dabei das kleinste Element oberhalb der anderen Elemente. Das Supremum ist also die kleinste obere Schranke einer Menge. 

Das Supremum von $M$ ist in diesem Beispiel $sup(M) = 4$. Die $4$ ist eine obere Schranke von $M$, da diese größer oder gleich (in diesem Fall sogar größer) als jedes Element von $M$ ist. Die $4$ liegt also oberhalb (jenseits) aller anderen Elemente. Eine weitere obere Schranke wäre die Zahl $6$. Allerdings suchen wir die kleinste obere Schranke. Daher ist die $4$ die kleinste obere Schranke von $M$ und somit das Supremum. 

Infimum

Analog gilt nun für den Begriff Infimum, dass ein Infimum nichts anderes ist als die größte untere Schranke. Es handelt sich also um das größte Element, welches unterhalb aller anderen Elemente in $M$ liegt.

Das Infimum von $M$ ist $inf(M) = 3$. Dieser Wert liegt unterhalb (und in diesem Fall auch außerhalb) der anderen Elemente und stellt den größten unteren Wert dar und ist damit die größte untere Schranke (hingegen wäre $2$ auch eine untere Schranken, aber eben nicht die größte untere Schranke). Das Supremum von $M$ ist $sup(M) = 4$. Dieser Wert liegt oberhalb aller anderen Elemente (in diesem Fall aber noch innerhalb) und stellt den kleinsten oberen Wert dar und ist damit die kleinste obere Schranke von $M$.