ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Schranken (Supremum, Infimum)

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Schranken (Supremum, Infimum)

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Schranken (Supremum, Infimum)

Ist eine Menge nach oben oder nach unten beschränkt, so existiert eine obere oder eine untere Schranke.

Obere und untere Schranke

Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach oben beschränkt, wenn $M \subseteq (-\infty, b]$ mit $b \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $b$ eine obere Schranke von $M$. 

Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach unten beschränkt, wenn $M \subseteq [a, \infty)$ mit $a \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $a$eine untere Schranke von $M$. 

Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist beschränkt, wenn sie eine untere Schranke $a$ und eine obere Schranke $b$ besitzt. Es gilt $M \subseteq [a, b]$.

Supremum

Das Supremum einer Menge $M$ ist ein Element, welches oberhalb (jenseits) aller anderen Elemente in $M$ liegt. Das bedeutet, dass das Supremum nicht das größte Element unter den anderen Elementen sein muss, sondern auch jenseits der Menge $M$ liegen kann. Das Supremum ist dabei das kleinste Element oberhalb der anderen Elemente. Das Supremum ist also die kleinste obere Schranke einer Menge. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Definition

Eine Zahl $s$ heißt kleinste obere Schranke oder Supremum von $M (s = sup(M))$, wenn

(i) $s$ ist eine obere Schranke von $M$, und

(ii) wenn $z$ ebenfalls eine obere Schranke von $M$ ist, und es gilt $s \le z$.

$\\$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Menge $M := \{x \in \mathbb{R}: x < 4 \} \subseteq \mathbb{R}$. Was ist das Supremum von $M$?

Das Supremum von $M$ ist in diesem Beispiel $sup(M) = 4$. Die $4$ ist eine obere Schranke von $M$, da diese größer oder gleich (in diesem Fall sogar größer) als jedes Element von $M$ ist. Die $4$ liegt also oberhalb (jenseits) aller anderen Elemente. Eine weitere obere Schranke wäre die Zahl $6$. Allerdings suchen wir die kleinste obere Schranke. Daher ist die $4$ die kleinste obere Schranke von $M$ und somit das Supremum. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Ist $M$ nach oben beschränkt, so wird die kleinste obere Schranke $s$ als Supremum von $M$ bezeichnet: $s = sup(M)$.

Infimum

Analog gilt nun für den Begriff Infimum, dass ein Infimum nichts anderes ist , als die größte untere Schranke. Es handelt sich also um das größte Element, welches unterhalb aller anderen Elemente in $M$ liegt.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Definition

Eine Zahl $s$ heißt größte untere Schranke oder Infimum von $M (s = inf(M))$, wenn

(i) $s$ ist eine untere Schranke von $M$, und

(ii) wenn $z$ ebenfalls eine untere Schranke von $M$ ist und es gilt $s \ge z$.

$\\$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Menge $M \subseteq (3, 4]$. Was ist das Infimum und Supremum von $M$?

Das Infimum von $M$ ist $inf(M) = 3$. Dieser Wert liegt unterhalb (und in diesem Fall auch außerhalb) der anderen Elemente und stellt den größten unteren Wert dar und ist damit die größte untere Schranke (hingegen wäre $2$ auch eine untere Schranken, aber eben nicht die größte untere Schranke). Das Supremum von $M$ ist $sup(M) = 4$. Dieser Wert liegt oberhalb aller anderen Elemente (in diesem Fall aber noch innerhalb) und stellt den kleinsten oberen Wert dar und ist damit die kleinste obere Schranke von $M$.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Ist $M$ also nach unten beschränkt, so wird die größte untere Schranke $s$ als Infimum von $M$ bezeichnet: $s = inf(M)$.