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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Schranken (Supremum, Infimum)

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Schranken (Supremum, Infimum)

Ist eine Menge nach oben oder nach unten beschränkt, so existiert eine obere oder eine untere Schranke.

Obere und untere Schranke

Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach oben beschränkt, wenn $M \subseteq (-\infty, b]$ mit $b \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $b$ eine obere Schranke von $M$. 

Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach unten beschränkt, wenn $M \subseteq [a, \infty)$ mit $a \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $a$eine untere Schranke von $M$. 

Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist beschränkt, wenn sie eine untere Schranke $a$ und eine obere Schranke $b$ besitzt. Es gilt $M \subseteq [a, b]$.

Supremum

Das Supremum einer Menge $M$ ist ein Element, welches oberhalb (jenseits) aller anderen Elemente in $M$ liegt. Das bedeutet, dass das Supremum nicht das größte Element unter den anderen Elementen sein muss, sondern auch jenseits der Menge $M$ liegen kann. Das Supremum ist dabei das kleinste Element oberhalb der anderen Elemente. Das Supremum ist also die kleinste obere Schranke einer Menge. 

Methode

Definition

Eine Zahl $s$ heißt kleinste obere Schranke oder Supremum von $M (s = sup(M))$, wenn

(i) $s$ ist eine obere Schranke von $M$, und

(ii) wenn $z$ ebenfalls eine obere Schranke von $M$ ist, und es gilt $s \le z$.

$\\$

Beispiel

Gegeben sei die Menge $M := \{x \in \mathbb{R}: x < 4 \} \subseteq \mathbb{R}$. Was ist das Supremum von $M$?

Das Supremum von $M$ ist in diesem Beispiel $sup(M) = 4$. Die $4$ ist eine obere Schranke von $M$, da diese größer oder gleich (in diesem Fall sogar größer) als jedes Element von $M$ ist. Die $4$ liegt also oberhalb (jenseits) aller anderen Elemente. Eine weitere obere Schranke wäre die Zahl $6$. Allerdings suchen wir die kleinste obere Schranke. Daher ist die $4$ die kleinste obere Schranke von $M$ und somit das Supremum. 

Merke

Ist $M$ nach oben beschränkt, so wird die kleinste obere Schranke $s$ als Supremum von $M$ bezeichnet: $s = sup(M)$.

Infimum

Analog gilt nun für den Begriff Infimum, dass ein Infimum nichts anderes ist , als die größte untere Schranke. Es handelt sich also um das größte Element, welches unterhalb aller anderen Elemente in $M$ liegt.

Methode

Definition

Eine Zahl $s$ heißt größte untere Schranke oder Infimum von $M (s = inf(M))$, wenn

(i) $s$ ist eine untere Schranke von $M$, und

(ii) wenn $z$ ebenfalls eine untere Schranke von $M$ ist und es gilt $s \ge z$.

$\\$

Beispiel

Gegeben sei die Menge $M \subseteq (3, 4]$. Was ist das Infimum und Supremum von $M$?

Das Infimum von $M$ ist $inf(M) = 3$. Dieser Wert liegt unterhalb (und in diesem Fall auch außerhalb) der anderen Elemente und stellt den größten unteren Wert dar und ist damit die größte untere Schranke (hingegen wäre $2$ auch eine untere Schranken, aber eben nicht die größte untere Schranke). Das Supremum von $M$ ist $sup(M) = 4$. Dieser Wert liegt oberhalb aller anderen Elemente (in diesem Fall aber noch innerhalb) und stellt den kleinsten oberen Wert dar und ist damit die kleinste obere Schranke von $M$.

Merke

Ist $M$ also nach unten beschränkt, so wird die größte untere Schranke $s$ als Infimum von $M$ bezeichnet: $s = inf(M)$.