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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Einführung in die Mengenlehre

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Einführung in die Mengenlehre

Merke

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

So beschrieb im Jahre 1895 der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) die primäre Eigenschaft einer Menge. 

Als Menge wird eine Ansammlung von Elementen bezeichnet. Mengen werden in der Regel mit Großbuchstaben mit einem zusätzlichen Strich dargestellt (z.B. $\mathbb{A}, \mathbb{B}, \mathbb{X},..$). Die Elemente einer Menge werden durch die Mengenklammern { und } eingeschlossen.

Merke

Man schreibt: $x \in \mathbb{A}$, wenn $x$ ein Element von Menge $\mathbb{A}$ darstellt und $x \not\in \mathbb{A}$, wenn $x$ kein Element von $\mathbb{A}$ darstellt. 

Betrachtet man z.B. die Menge $\mathbb{M} = \{1,2,3,4 \}$, so ist $2 \in \mathbb{M}$, wohingegen $5 \not\in \mathbb{M}$ ist. 

Zahlenmengen

Es existieren unterschiedliche Zahlenmengen, welche im Folgenden aufgeführt werden sollen:

  • $\mathbb{N}$ ist die Menge der natürlichen Zahlen. $\mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,6,.. \}$. Die natürlichen Zahlen sind alle nicht-negativen ganzen Zahlen. Wenn die Null hinzugezählt werden soll, so schreibt man: $\mathbb{N}_0 = \{0,1,2,3,4,5,6,.. \}$.

  • $\mathbb{Z}$ ist die Menge der ganzen Zahlen. Diese beinhalten neben den natürlichen Zahlen noch die negativen ganzen Zahlen. $\mathbb{Z} = \{..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}$.

  • $\mathbb{Q}$ ist die Menge der rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind definiert als die Menge der ganzen Zahlen sowie allen Brüchen $\frac{p}{q}$, für die gilt $p, q \in \mathbb{Z}$ und $q \neq 0$.

  • $\mathbb{R}$ ist die Menge aller reellen Zahlen. Die reellen Zahlen sind definiert als die Menge der rationalen Zahlen plus die Menge der nicht-rationalen Zahlen, wie z.B. $\sqrt{5}$ oder $\pi$. 

Es besteht die Möglichkeit eine Zahlenmenge durch ein zusätzlich hochgestelltes $+$ oder $-$ zu versehen. Wird ein $+$ an eine Zahlenmenge angefügt, so bedeutet dies, dass alle Zahlen der Menge größer als null sind. Wird ein $-$ angefügt, so bedeutet dies, dass alle Zahlen der Menge kleiner als null sind. Soll die Null ebenfalls berücksichtigt werden, so muss diese nach unten gestellt an die Menge angefügt werden.

Beispiel

$\mathbb{Z}_0^+$ ist die Menge aller ganzen positiven Zahlen mit Berücksichtigung der Null. Dies entspricht auch gleichzeitig der Menge aller natürlichen Zahlen plus null: $\mathbb{N}_0$.

Der Menge aller natürlichen Zahlen kann natürlich kein $^-$ angefügt werden, weil diese nur aus positiven Zahlen besteht.

Für $\mathbb{R}^-$ werden alle reellen Zahlen kleiner als null berücksichtigt, wohingegen für $\mathbb{R}^+_0$ alle reellen Zahlen größer gleich null berücksichtigt werden.

Aussagen und Aussageformen

Aussagen können entweder wahr $w$ oder falsch $f$ sein. Es existieren auch Aussagen, die nicht klar bestimmt sind, also die weder wahr noch falsch sind.

Beispiel

Das 2-fache einer Zahl ist kleiner als 20. Wird für die Zahl $x = 5$ eingesetzt, so ist diese Aussage wahr, denn $2 \cdot 5 < 20$. Wird hingegen für diese Zahl $x = 15$ eingesetzt, so ist diese Aussage falsch, denn $2 \cdot 15 > 20$.

Die gerade beschriebene Formulierung: Das 2-fache einer Zahl ist kleiner als 20 stellt eine Aussageform dar. Die Aussageform ist also eine Formulierung, welche eine unbekannte Variable enthält. Wird für diese Variable ein Wert eingesetzt, so entsteht eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Die Werte, die für diese unbekannte Variable eingesetzt werden, werden einer Grundmenge $\mathbb{G}$ entnommen. Ist keine andere Information gegeben, so wird die Grundmenge immer mit $\mathbb{R}$ angenommen.

In der Mathematik sind typische Aussageformen Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten. Setzt man für die Unbekannte(n) bestimmte Werte ein, so entsteht eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist.

Beispiel

Die Gleichung $2x = 4x + 16$ ist wahr für:

$x = -8$:  $-16 = -16$

Sie ist hingegen falsch für z.B.

$x = 5$:  $10 = 36$

Es sind nur diejenigen Zahlen von Interesse, die aus der Aussageform (Gleichung) eine wahre Aussage machen, denn diese Zahlen lösen die Gleichung und sind damit Elemente der Lösungsmenge. 

Merke

Im Weiteren werden die Mengen mit einfachen Großbuchstaben $\{A, B, ... \}$ dargestellt.

Angabe von Eigenschaften bei Mengen

Die häufigste Beschreibung einer Menge $A$ geschieht durch die Angabe einer Eigenschaft $E$, die genau allen Elementen von $A$ zukommt. Man schreibt:

Gut zu wissen

$A = \{x; x \; \text{hat die Eigenschaft } \; E \}$

Zum Beispiel: $A = \{x; x \; \text{ ist eine ganze Zahl} \; \}$ also ''die Menge aller  $x$  für die gilt: $x$ ist eine ganze Zahl, ist wiederum genau die Menge $A$.

Für die obige Aussageform wäre also $x = 1$ eine wahre Aussage und damit Lösungsmenge der Menge $A = \{1 \}$. Alle ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind demnach Lösungsmenge von $A = \{\mathbb{Z} \}$. 

Beispiel

Alle Elemente der Menge $A$ sollen die Eigenschaft besitzen eine Ballsportart zu sein ($E$ = Ballsportart). Fußball, Handball, Basketball besitzen diese Eigenschaft und sind damit $\in A$. Weitsprung, Skilanglauf und Schwimmen hingegen sind zwar Sportarten, gehören aber nicht zu den Ballsportarten und damit $\not\in A$.

Unterscheidung von Mengen

1. Eine Menge $A$ die keine Elemente enthält wird mit leer bezeichnet. Enthält sie mindestens ein Element, heißt sie nicht leer.

Beispiel

$A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 + 5 = 0 \}$. Kein Element $x$ kann die Eigenschaft erfüllen, dass die Gleichung den Wert  $0$ annimmt, deshalb ist die Menge $A$ leer.

$A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 16 = 0 \}$. Die Elemente $x = 4$ und $x = -4$ können die Eigenschaft erfüllen, dass die Gleichung den Wert $0$ annimmt. Diese Menge ist demnach nicht leer $A = \{-4,4 \}$.


2. Eine Menge $A$ die endlich viele oder überhaupt keine Elemente enthält wird als endlich bzw. unendlich bezeichnet.

Beispiel

$A = \{ x \in \mathbb{N} | x + 3 < 10\}$. Es dürfen nur alle natürlichen Zahlen betrachtet werden, also ist die Menge $A = \{1,2,3,4,5,6 \}$. Die Menge ist endlich.

$A = \{ x \in \mathbb{N} | x + 3 > 10\}$. Auch hier dürfen nur alle natürlichen Zahlen betrachtet werden, allerdings ist die Menge $A$ hier unendlich, weil für $7 < x < \infty$ die Gleichung erfüllt ist.  


3. Eine unendliche Menge $A$, dessen Elemente sich als unendliche Folge durchnummerieren lassen, heißt abzählbar unendlich. Jede nicht abzählbar unendliche Menge heißt überabzählbar unendlich

Beispiel

$A = \{x \in \mathbb{R} | 0 \le x \le 1\}$ heißt überabzählbar unendlich. Hier werden alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 betrachtet. 

$A = \{ x \in \mathbb{N} | x + 3 > 10\}$ heißt hingegen abzählbar unendlich, da hier die Zahlen zwar bis unendlich gehen, aber durchnummeriert werden können: $A = \{8,9,10,11,..., \infty\}$ .


4. Eine Menge $A$ und eine Menge $B$, die keine gemeinsamen Elemente besitzen, heißen disjunkte Mengen

Beispiel

$ A = \{5, 6, 7\}$ und $B = \{ 8, 9, 10\}$ heißen disjunkt. 


4. Eine Menge $A$ und eine Menge $B$, die identische Elemente besitzen, heißen äquivalente Mengen

Beispiel

$ A = \{5, 6, 7\}$ und $B = \{ 5, 6, 7\}$ heißen äquivalent.