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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Produktmengen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Produktmengen

Die Produktmenge (in der Mathematik auch kartesisches Produkt genannt) zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller geordneter Paare, die aus den Elementen $x \in A$ und $y \in B$ gebildet werden können. 

Merke

Alle Funktionen und Abbildungen sind als Teilmengen kartesischer Produkte aufzufassen.

Schreibweise: $A \times B = \{(x,y)|x \in A  \text{und} \; y \in B \}$

Hierbei stellt $n_1$ die Anzahl der Elemente von $A$ und $n_2$ die Anzahl der Elemente von $B$ dar. Die Produktmenge beinhaltet dann $n_1 \cdot n_2$ geordnete Paare. 
Überträgt man nun diese Paare auf ein kartesisches Koordinatensystem, so erhält man ein Punktegitter von geordneten Paaren $(x,y)$ in der Koordinatenebene.

Beispiel

Gegeben seien die Mengen $A = \{1,2,3,4 \}$ und $B = \{X,Y,Z \}$.

$A$ besitzt vier Elemente, $B$ drei Elemente. Die neue Menge $M = A \times B$ müsste also $4 \cdot 3 = 12$ Elemente besitzen.

Wir erhalten somit:

$A \times B = \{ (1, X), (2, X), (3, X), (4, X),
(1, Y), (2,Y), (3, Y), (4, Y),
(1, Z), (2, Z), (3, Z), (4, Z) \}$.

Zudem ist es möglich das kartesische Produkt aus einer Menge $A$ mit sich selbst zu bilden.
Beinhaltet $A$ eine endliche Anzahl $n$ von Elementen, so erhält man eine Elementenanzahl von $A \times A = n^2$.

Im obigen Beispiel wäre dies: $4 \cdot 4 = 16$

$A \times A = \{(1,1) (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) \}$