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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Teilmengen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Teilmengen

OberMenge/Teilmenge

TeilMengen beschreiben den Zusammenhang zwischen mindestens zwei Mengen. Ist jedes Element der Menge $A$ auch ein Element der Menge $B$, so ist die Menge $A$ eine Teilmenge von $B$:

Methode

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$A \subseteq B \; \; \; $           $A$ ist Teilmenge von $B$

Beispiel

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Gegeben sei die Menge $A = \{0,1,2,3,4,5,6 \}$ sowie die Mengen $B = \{0,1,2,3,4,5,6 \}$ und $C = \{0,1,6,7 \}$.

Die Menge $B$ ist Teilmenge von Menge $A$, also $B \subseteq A$. Hier ist auch die Menge $A$ Teilmenge von Menge $B$, also $A \subseteq B$. Die Menge $C$ hingegen ist keine Teilmenge von Menge $A$ oder von Menge $B$.

Echte Obermenge/echte Teilmenge

Ist jedes Element von $A$ ein Element von $B$ und enthält $B$ mindestens ein in $A$ nicht enthaltenes Element, so ist $A$ eine echte Teilmenge von $B$:

Methode

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$A \subset B \; \; \; $            $A$ ist echte Teilmenge von $B$

Alternativ kann man sagen, dass $A$ echt in $B$ enthalten ist bzw. dass $B$ die echte Obermenge von $A$ darstellt.

Teilmenge, echte Teilmenge, Mengen
A ist echte Teilmenge von B

 

Beispiel

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Gegeben sei die Menge $A = \{0,1,2,3,4,5,6 \}$ sowie die Mengen $B = \{0,1,2,3,4 \}$ und $C = \{0,1,6,7 \}$.

Die Menge $B$ ist echte Teilmenge von Menge $A$, also $B \subset A$, weil alle Elemente von $B$ in $A$ vorkommen und $A$ mindestens ein Element verschieden von $B$ aufweist. Man kann auch sagen, dass $A$ echte Obermenge von $B$ ist.

Die Menge $C$ hingegen ist weder Teilmenge von $A$ noch von $B$.

Gleiche Mengen/unvergleichbare Mengen

Ist jedes Element von $A$ ein Element von $B$ und umgekehrt, so heißen die beiden Mengen gleich. Besitzt keine Menge ein Element der anderen Menge, so sind diese unvergleichbar und besitzen keine Relationen.

$ A = B \longleftrightarrow (A \subseteq B \wedge B \subseteq A) \;\;\; $ gleiche Mengen
$ A \neq B \longleftrightarrow (A \not \subseteq B \wedge B \not \subseteq A) \;\;\; $ unvergleichbare Mengen  

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben seien die Mengen $A = \{-1, 5, 6, 8, 10, 12 \}$, $B = \{-1, 5, 6, 8, 10, 12 \}$ und $C = \{-2, 3, 4, 7, 9, 11 \}$.

Die Mengen $A$ und $B$ sind gleich bzw. äquivalent. Die Mengen $A$ und $C$ und die Mengen $B$ und $C$ sind unvergleichbare Mengen.