ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Analysis und Lineare Algebra
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse
Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Mengenlehre > Rechenregel für Mengen:

Regel von de Morgan

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 3: Dynamik:
 Am 06.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Dynamik) Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes
- Dieses 60-minütige Gratis-Webinar behandelt die geradlinige Bewegung eines Massenpunktes.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Im Folgenden werden die zwei de Morganschen Regeln aufgeführt und anhand von Beispielen verdeutlicht. Sie wurden nach dem Mathematiker Augustus De Morgan benannt.

a) De Morgansche Regel: Vereinigung und Durchschnitt

Methode

$\overline{(A \cup B)} \leftrightarrow \overline{A} \cap \overline{B}$

Der Strich über der Menge bedeutet, dass diejenigen Elemente betrachtet werden, die NICHT enthalten sind. Dies entspricht der Komplementärmenge, welche bereits im Abschnitt Komplementärmenge eingeführt worden ist.

Beispiel

Ausgehend von einer Obermenge $X$ stellen die Mengen $A$ und $B$ Teilmengen dieser Obermenge $X$ dar.

$X$ sei $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$. 

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$.

1. Möglichkeit: $\overline{(A \cup B)}$  Vereinigung

Es wird erst die Vereinigung von $A$ und $B$ gebildet.

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$  

Es wird nun die Grundmenge $X$ betrachtet und alle Elemente ausgewählt, die nicht in $A \cup B$ enthalten sind: 

$\overline{(A \cup B)} = \{0, 7, 8, 9, 10 \}$

2. Möglichkeit: $\overline{A} \cap \overline{B}$

Betrachtung aller Elemente in $X$ die nicht in $A$ enthalten sind und die nicht in $B$ enthalten sind. Danach wird aus diesen Elementen der Durchschnitt gebildet.

$\overline{A} = \{0, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \leftarrow$  zeigt Elemente die nicht in $A$ enthalten sind! 

$\overline{B} = \{0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 \} \leftarrow$  zeigt Elemente die nicht in $B$ enthalten sind!

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{0, 7, 8, 9, 10 \}$ 

Es ist deutlich zu erkennen, dass sowohl $\overline{(A \cup B)}$  als auch $\overline{A} \cap \overline{B}$ zum gleichen Ergebnis führt, nämlich:  $\{0, 7, 8, 9, 10 \}$

b) De Morgansche Regel: Durchschnitt und Vereinigung

Methode

$\overline{A \cap B} \leftrightarrow \overline{A} \cup \overline{B}$

Es wird im Folgenden gezeigt, wie diese Regel angewandt wird.

Beispiel

Ausgehend von einer Obermenge $X$ stellen die Mengen $A$ und $B$ Teilmengen dieser Obermenge $X$ dar.

$X$ sei $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$.

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$.

1. Möglichkeit: $\overline{A \cap B}$ Schnittmenge

Zunächst wird der Durchschnitt aus $A$ und $B$ gebildet.

$A \cap B = \{3, 4 \}$

Es werden nun alle Elemente der Obermenge $X$ betrachtet, welche nicht in der obigen Schnittmenge enthalten sind:

$\overline{A \cap B} = \{0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$

2. Möglichkeit: $\overline{A} \cup \overline{B}$

Es werden wieder alle Elemente der Obermenge $X$ betrachtet, die nicht in $A$ enthalten sind und alle Elemente, die nicht in $B$ enthalten sind und aus diesen dann die Vereinigung gebildet.

$\overline{A} = \{0, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \leftarrow$  Elemente, die nicht in $A$ enthalten sind. 

$\overline{B} = \{0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 \} \leftarrow$  Elemente, die nicht in $B$ enthalten sind.

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$ 

Es ist deutlich zu erkennen, dass sowohl $\overline{A \cap B}$  als auch $\overline{A} \cup \overline{B}$ zum gleichen Ergebnis führen, nämlich:  $\{0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$.

Multiple-Choice
Gegeben sei die Obermenge $X = \{ 1,2,3,4,5,6 \}$ mit den Teilmengen $A = \{3,4 \}$ und $B = \{4,5 \}$.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Regel von de Morgan ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Lineare Algebra.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare AlgebraHöhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analysis und Lineare Algebra

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Höhere Mathematik 1
    • Einleitung zu Kurs: Höhere Mathematik 1
  • Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    • Einleitung zu Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen
    • Mengenlehre
      • Einführung in die Mengenlehre
      • Teilmengen
      • Mengenoperationen
        • Vereinigung von Mengen
        • Durchschnitt von Mengen
        • Differenz von Mengen
        • Komplementärmenge
        • Produktmengen
        • Übungsbeispiele zur Mengenlehre
      • Rechenregel für Mengen
        • Kommutativgesetz
        • Assoziativgesetz
        • Distributivgesetz
        • Regel von de Morgan
    • Reelle Zahlen
      • Einleitung zu Reelle Zahlen
      • Bezeichnung reeller Zahlen
      • Ungleichungen
        • Einleitung zu Ungleichungen
        • Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
      • Intervalle
      • Schranken (Supremum, Infimum)
      • Beträge
      • Vollständige Induktion
        • Einleitung zu Vollständige Induktion
        • Beispiele: Vollständige Induktion
      • Fakultät und Binomialkoeffizienten
    • Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
  • Vektorrechnung
    • Einführung in die Vektorrechnung
      • Einleitung zu Einführung in die Vektorrechnung
      • Addition von Vektoren
      • Subtraktion von Vektoren
      • Skalieren von Vektoren
      • Einheitsvektor, Länge von Vektoren
      • Dreiecksungleichung
    • Das Skalarprodukt
      • Skalarprodukt und Winkel
      • Zerlegung von Vektoren
      • Rechengesetze: Skalarprodukt
    • Das Vektorprodukt
    • Das Spatprodukt
    • Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
  • Komplexe Zahlen
    • Definition von komplexen Zahlen
    • Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    • Polarkoordinaten
    • Nullstellen von Polynomen
      • Einleitung zu Nullstellen von Polynomen
      • Fundamentalsatz der Algebra
      • pq-Formel
  • Elementare Funktionen
    • Rationale Funktion
      • Einleitung zu Rationale Funktion
      • Ganz rationale Funktionen
        • Einleitung zu Ganz rationale Funktionen
        • Nullstellen ganzrationaler Funktionen
        • Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
      • Gebrochen rationale Funktionen
        • Einleitung zu Gebrochen rationale Funktionen
        • Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen
        • Hebbare Definitionslücke
        • Asymptoten
        • Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen
        • Echt / unecht gebrochen rationale Funktion
    • Nicht rationale Funktionen
      • Einleitung zu Nicht rationale Funktionen
      • Wurzelfunktionen
      • Exponentialfunktionen
        • Die e-Funktion
        • Die allgemeine Exponentialfunktion
      • Logarithmusfunktion
      • Trigonometrische Funktion
        • Einleitung zu Trigonometrische Funktion
        • Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen
        • Beziehungen der trigonometrischen Funktionen
        • Rechenoperatoren für trigonomterische Funktionen
          • Einleitung zu Rechenoperatoren für trigonomterische Funktionen
          • Additionstheoreme von trigonometrische Funktionen
          • Summen und Differenzen trigonometrischer Terme
      • Hyperbelfunktionen
    • Grenzwert von Funktionen
    • Stetigkeit einer Funktion
  • Differentialrechnung
    • Ableitungen
      • Einleitung zu Ableitungen
      • Ableitungen erster Ordnung
      • Ableitungen höherer Ordnung
    • Wendepunkte
    • Extremwerte
    • Ableitungsregeln
    • Ableitung der Elementaren Funktionen
    • Mittelwertsätze
    • Monotone Funktionen
    • Konkave und konvexe Funktionen
      • Einleitung zu Konkave und konvexe Funktionen
      • Nachweis Konkavität und Konvexität auf direktem Weg
      • Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    • Regel von de l' Hospital
    • Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton
  • Integralrechnung
    • Unbestimmte Integrale
      • Einleitung zu Unbestimmte Integrale
      • Rechenregeln für unbestimmte Integrale
      • Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
      • Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
      • Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
      • Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
    • Bestimmte Integrale
      • Einleitung zu Bestimmte Integrale
      • Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
      • Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
      • Partielle Integration bei bestimmten Integralen
    • Uneigentliche Integrale
      • Einleitung zu Uneigentliche Integrale
      • Uneigentliche Integrale Typ 1
      • Uneigentliche Integrale Typ 2
  • Lineare Algebra
    • Einleitung zu Lineare Algebra
    • Matrizen
      • Einleitung zu Matrizen
      • Addition und Subtraktion von Matrizen
      • Multiplikation mit Zahlenwerten bei Matrizen
      • Rechenregeln für Matrizen
    • Matrizenmultiplikation
    • Invertierbare Matrix
    • Gauß Eliminationsverfahren
    • Rang einer Matrix
    • Determinanten
      • Einleitung zu Determinanten
      • Laplacescher Entwicklungssatz
      • Cramersche Regel
    • Eigenwerte und Eigenvektoren
      • Eigenwerte
      • Eigenvektoren
      • Diagonalmatrix
      • Diagonalisierbarkeit
        • Einleitung zu Diagonalisierbarkeit
        • Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
        • Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
  • 112
  • 23
  • 199
  • 81
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 29.11.2016:
    "zufrieden "

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 27.11.2016:
    "sehr guter einstieg"

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 11.11.2016:
    "Es macht spass hier zu lernen"

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 29.09.2016:
    "ALLES SUBBA"

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 29.08.2016:
    "einfach und trotzdem genau erklärt "

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 10.07.2016:
    "alles super bisher"

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 24.05.2016:
    "Das was ich bis jetzt erlernen konnte hat mir ganz gut gefallen!!"

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 17.04.2016:
    "weiter so :D"

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 29.03.2016:
    "Gute Erklärungen, einfach verständlich."

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 13.12.2015:
    "gute Erklärungen"

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 29.10.2015:
    "Sehr schön gegliedert und optimiert auf das Wichtigste. Dankeschön"

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 09.12.2014:
    "Waaaaaaaaaaaaaaaaaaahnsinn einfach nur sein Geld wert :D Nur 25€ für solch einen Kurs würden auch reichen ;) wir sind schließlich Studenten und noch keine Akademiker ;-D aber auf jedenfall TOP Immer, wenn ich in der Uni sitze und nichts verstehe und dann an diesen Kurs hier denke, komme ich mir in der Uni richtig dumm vor :-D mir fehlen einfach die Worte Note 1 reicht garnicht :)"

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 13.10.2014:
    "Kurz und kapp,werden die Inhalte (wesentliche und wichtige) verständlich erklärt. "

  • Gute Bewertung für Analysis und Lineare Algebra

    Ein Kursnutzer am 22.08.2014:
    "Hätte ich das nur während dem Abi damals gewusst :D Ich war damals aber auch faul, sehr gut das man hier an den Basics anfängt und Schritt für Schriit nochmal alles erklärt bekommt =)))"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen