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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Regel von de Morgan

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Regel von de Morgan

Im Folgenden werden die zwei de Morganschen Regeln aufgeführt und anhand von Beispielen verdeutlicht. Sie wurden nach dem Mathematiker Augustus De Morgan benannt.

De Morgansche Regel: Vereinigung und Durchschnitt

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\overline{(A \cup B)} \leftrightarrow \overline{A} \cap \overline{B}$

Der Strich über der Menge bedeutet, dass diejenigen Elemente betrachtet werden, die NICHT enthalten sind. Dies entspricht der Komplementärmenge, welche bereits im Abschnitt Komplementärmenge eingeführt worden ist.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Ausgehend von einer Obermenge $X$ stellen die Mengen $A$ und $B$ Teilmengen dieser Obermenge $X$ dar.

$X$ sei $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$. 

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$.

1. Möglichkeit: $\overline{(A \cup B)}$  Vereinigung

Es wird erst die Vereinigung von $A$ und $B$ gebildet.

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$  

Es wird nun die Grundmenge $X$ betrachtet und alle Elemente ausgewählt, die nicht in $A \cup B$ enthalten sind: 

$\overline{(A \cup B)} = \{0, 7, 8, 9, 10 \}$

2. Möglichkeit: $\overline{A} \cap \overline{B}$

Betrachtung aller Elemente in $X$ die nicht in $A$ enthalten sind und die nicht in $B$ enthalten sind. Danach wird aus diesen Elementen der Durchschnitt gebildet.

$\overline{A} = \{0, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \leftarrow$  zeigt Elemente die nicht in $A$ enthalten sind! 

$\overline{B} = \{0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 \} \leftarrow$  zeigt Elemente die nicht in $B$ enthalten sind!

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{0, 7, 8, 9, 10 \}$ 

Es ist deutlich zu erkennen, dass sowohl $\overline{(A \cup B)}$  als auch $\overline{A} \cap \overline{B}$ zum gleichen Ergebnis führt, nämlich:  $\{0, 7, 8, 9, 10 \}$

De Morgansche Regel: Durchschnitt und Vereinigung

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\overline{A \cap B} \leftrightarrow \overline{A} \cup \overline{B}$

Es wird im Folgenden gezeigt, wie diese Regel angewandt wird.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Ausgehend von einer Obermenge $X$ stellen die Mengen $A$ und $B$ Teilmengen dieser Obermenge $X$ dar.

$X$ sei $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$.

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$.

1. Möglichkeit: $\overline{A \cap B}$ Schnittmenge

Zunächst wird der Durchschnitt aus $A$ und $B$ gebildet.

$A \cap B = \{3, 4 \}$

Es werden nun alle Elemente der Obermenge $X$ betrachtet, welche nicht in der obigen Schnittmenge enthalten sind:

$\overline{A \cap B} = \{0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$

2. Möglichkeit: $\overline{A} \cup \overline{B}$

Es werden wieder alle Elemente der Obermenge $X$ betrachtet, die nicht in $A$ enthalten sind und alle Elemente, die nicht in $B$ enthalten sind und aus diesen dann die Vereinigung gebildet.

$\overline{A} = \{0, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \leftarrow$  Elemente, die nicht in $A$ enthalten sind. 

$\overline{B} = \{0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 \} \leftarrow$  Elemente, die nicht in $B$ enthalten sind.

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$ 

Es ist deutlich zu erkennen, dass sowohl $\overline{A \cap B}$  als auch $\overline{A} \cup \overline{B}$ zum gleichen Ergebnis führen, nämlich:  $\{0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$.