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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Distributivgesetz

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz zeigt die Möglichkeiten auf, die Verkettung von Operationen anders oder vereinfacht darzustellen, um zum gleichen Ergebnis zu gelangen. Im Weiteren erläutern wir dir das Distributivgesetzt anhand von Durchschnitt (Schnittmenge), Vereinigung und Differenz von Mengen.

Schnittmenge und Vereinigung

$A \cap (B \cup C) \longleftrightarrow (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$, $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$.

1. Möglichkeit: $A \cap (B \cup C)$

Die Vereinigung von $B$ und $C$ bilden und daraus dann den Durchschnitt (also die Schnittmenge) mit $A$.

$(B \cup C) = \{3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ Vereinigung                            

$A \cap (B \cup C) = \{3, 4 \}$ Schnittmenge    
                        

2. Möglichkeit: $(A \cap B) \cup (A \cap C)$

Den Durchschnitt von $A$ und $B$ sowie $A$ und $C$ bilden und aus diesen dann die Vereinigung.

$(A \cap B) = \{3, 4 \}$ Schnittmenge                                

$(A \cap C) = \{4 \}$ Schnittmenge                            

$(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{3, 4 \}$  Vereinigung

Vereinigung und Schnittmenge

$A \cup (B \cap C) \longleftrightarrow (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$, $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$.

1. Möglichkeit: $A \cup (B \cap C)$

Den Durchschnitt von $B$ und $C$ bilden und das Ergebnis dann mit $A$ vereinigen.

$(B \cap C) = \{4, 5, 6 \}$ Schnittmenge

$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ Vereinigung

2. Möglichkeit: $(A \cup B) \cap (A \cup C)$

Die Vereinigung von $A$ und $B$ sowie $A$ und $C$ bilden und aus diesen dann den Durchschnitt bilden.

$(A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ Vereinigung

$(A \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ Vereinigung

$(A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ Schnittmenge

Schnittmenge und Differenz

$A \cap (B \backslash C) \longleftrightarrow (A \cap B) \backslash (A \cap C)$

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$, $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$.

1. Möglichkeit: $A \cap (B \backslash C)$

Die Differenz von $B$ und $C$ bilden und dann den Durchschnitt mit $A$ bilden.

$(B \backslash C) = \{3 \}$ Differenz (alle Elemente die in B aber nicht in C enthalten sind)

$A \cap (B \backslash C) = \{3 \}$ Schnittmenge

2. Möglichkeit: $(A \cap B) \backslash (A \cap C)$

Den Durchschnitt von $A$ und $B$ sowie $A$ und $C$ bilden und dann die Differenz aus beiden bilden.

$(A \cap B) = \{3, 4 \}$ Schnittmenge

$(A \cap C) = \{4 \}$ Schnittmenge

$(A \cap B) \backslash (A \cap C) = \{3 \}$ Differenz