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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Distributivgesetz

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz zeigt auf, welche Möglichkeiten bestehen die Verkettung von Operationen anders oder vereinfacht darzustellen, um zum gleichen Ergebnis zu gelangen. Im Weiteren wird das Distributivgesetz anhand von Durchschnitt (Schnittmenge), Vereinigung und Differenz von Mengen erläutert.

Schnittmenge und Vereinigung

$A \cap (B \cup C) \leftrightarrow (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Beispiel

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$.

1. Möglichkeit: $A \cap (B \cup C)$

Die Vereinigung von $B$ und $C$ bilden und daraus dann den Durchschnitt (also die Schnittmenge) zu $A$.

$(B \cup C) = \{3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ Vereinigung                            

$A \cap (B \cup C) = \{3, 4 \}$ Schnittmenge    
                        

2. Möglichkeit: $(A \cap B) \cup (A \cap C)$

Den Durchschnitt von $A$ und $B$ sowie $A$ und $C$ bilden und aus diesen dann die Vereinigung.

$(A \cap B) = \{3, 4 \}$ Schnittmenge                                

$(A \cap C) = \{4 \}$ Schnittmenge                            

$(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{3, 4 \}$  Vereinigung

Vereinigung und Schnittmenge

$A \cup (B \cap C) \leftrightarrow (A \cup B) \cap (A \cup C)$

Beispiel

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$.

1. Möglichkeit: $A \cup (B \cap C)$

Den Durchschnitt von $B$ und $C$ bilden und das Ergebnis dann mit $A$ vereinigen.

$(B \cap C) = \{4, 5, 6 \}$ Schnittmenge

$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ Vereinigung

2. Möglichkeit: $(A \cup B) \cap (A \cup C)$

Die Vereinigung von $A$ und $B$ sowie $A$ und $C$ bilden und aus diesen dann den Durchschnitt bilden.

$(A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ Vereinigung

$(A \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ Vereinigung

$(A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ Schnittmenge

Schnittmenge und Differenz

$A \cap (B \backslash C) \leftrightarrow (A \cap B) \backslash (A \cap C)$

Beispiel

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$.

1. Möglichkeit: $A \cap (B \backslash C)$

Die Differenz von $B$ und $C$ bilden und dann den Durchschnitt mit $A$ bilden.

$(B \backslash C) = \{3 \}$ Differenz (alle Elemente die in B aber nicht in C enthalten sind)

$A \cap (B \backslash C) = \{3 \}$ Schnittmenge

2. Möglichkeit: $(A \cap B) \backslash (A \cap C)$

Den Durchschnitt von $A$ und $B$ sowie $A$ und $C$ bilden und dann die Differenz aus beiden bilden.

$(A \cap B) = \{3, 4 \}$ Schnittmenge

$(A \cap C) = \{4 \}$ Schnittmenge

$(A \cap B) \backslash (A \cap C) = \{3 \}$ Differenz