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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Ungleichungen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Ungleichungen

Merke

Eine Ungleichung stellt in der Mathematik einen Größenvergleich zwischen zwei oder mehreren Werten dar. Eine Ungleichung besagt nicht, dass zwei Werte gleich sind, sondern dass ein Wert größer oder kleiner (bzw. größer-gleich oder kleiner-gleich) als ein anderer Wert ist.

Hierbei unterscheidet man im Weiteren die strikte Ungleichung von der nicht-strikten Ungleichung. 

Strikte Ungleichung

$x < y  \rightarrow$ der Wert $x$ ist kleiner als der Wert $y$.  

oder $x > y \rightarrow$ der Wert $x$ ist größer als der Wert $y$.

Beispiel

Gegeben sei folgende strikte Ungleichung mit einer Restriktion: $x > y | y = 3$

In diesem Fall kann $x$ jeden beliebigen Wert annehmen, so lange der Wert größer als $x > 3$ ist, da $y = 3$.

Nicht strikte Ungleichung

$x \le y  \rightarrow$ der Wert $x$ ist kleiner oder gleich dem Wert $y$.  

oder $x \ge y \rightarrow$ der Wert $x$ ist größer oder gleich dem Wert $y$.

Beispiel

Gegeben sei folgende nicht-strikte Ungleichung mit einer Restriktion: $y \ge x | x = 2$.

In diesem Fall kann $y$ jeden beliebigen Wert annehmen der größer oder gleich dem Wert $2$ ist. 

Ungleichungen für mehrere Werte

1) aus $x \le y \le z$  folgt  $x \le z$

2) aus $x \le y$  folgt  $x + z \le y + z$

3) aus $x \le y$ und $z \ge 0$  folgt  $x  \cdot z \le y \cdot z$

Im folgenden Abschnitt werden Anwendungsbeispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Bruchungleichungen und Betragsungleichungen aufgezeigt.