Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen

In diesem Abschnitt zeigen wir dir Beispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Betragsungleichungen und Bruchungleichungen auf.

Anwendungsbeispiele: Einfache Ungleichungen

Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt:

$- \frac{5}{6}x \le - \frac{4}{3}$

Nun lösen wir nach $x$ auf. Da bei der Auflösung nach $x$ die gesamte Gleichung mit $-\frac{6}{5}$ multipliziert wird, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um:

$x \ge \frac{8}{5}$

$\{x \in \mathbb{R} | x \ge \frac{8}{5} \}$

Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt:

$\frac{5}{6}x \le -\frac{4}{3}$

Nun lösen wir nach $x$ auf.

$x \le -\frac{8}{5}$

$\{x \in \mathbb{R} | x \le -\frac{8}{5} \}$

Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt:

$-\frac{5}{6}x \le \frac{4}{3}$

Nun lösen wir nach $x$ auf. Da bei der Auflösung nach $x$ die gesamte Gleichung mit $-\frac{6}{5}$ multipliziert wird, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um:

$x \ge -\frac{8}{5}$

$\{x \in \mathbb{R} | x \ge -\frac{8}{5} \}$

Anwendungsbeispiele: Bruchungleichungen

Zunächst wird der Nenner betrachtet. Da hier bei $x = 2$ dieser Null wird und durch Null nicht geteilt werden darf, muss hier $x = 2$ als Lösung ausgeschlossen werden:

$\{x \in \mathbb{R} | x \neq 2 \}$

Es wird als nächstes der Nenner auf die andere Seite gebracht. Hierbei muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, da der Nenner positiv oder negativ werden kann.

1.) Fallunterscheidung für $x < 2$:

Der Nenner wird negativ. Das bedeutet, dass bei der Muliplikation mit dem Nenner das Ungleichheitszeichen umgedreht werden muss.

$\frac{3x + 1}{x - 2} < 2 $            |$\cdot  (x-2)$

$3x + 1 > 2(x-2)$

Auflösen nach $x$ ergibt:

$3x + 1 > 2x-4$    |$-2x$

$x + 1 > -4$       |$-1$

$x > -5$

Es resultiert, dass x > -5 ist. Wir haben in der Fallunterscheidung x < 2 gegeben. Wir wissen nun also, dass -5 die untere Grenze dieser Fallunterscheidung ist und 2 die obere Grenze:

$\{x \in \mathbb{R} | -5 < x < 2 \}$

2.) Fallunterscheidung für $x > 2$:

Der Nenner wird positiv. Das bedeutet, dass bei der Muliplikation mit dem Nenner das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht werden muss.

$\frac{3x + 1}{x - 2} < 2 $            |$\cdot  (x-2)$

$3x + 1 < 2(x-2)$

Auflösen nach $x$ ergibt:

$3x + 1 < 2x-4$    |$-2x$

$x + 1 < -4$       |$-1$

$x < -5$

Die Fallunterscheidung besagt, dass x größer als 2 ist. Im Ergebnis erhalten wir wir x ist kleiner als -5. Dies ist ein Widerspruch. Diese Ungleichung ist für $x > 2$ nicht erfüllbar. Werden Werte größer als 2 eingesetzt, so resultiert niemals ein Wert kleiner als -5. Diese Lösungsmenge ist leer.

$L = \{ \}$    leere Menge

$\{x \in \mathbb{R} | x \neq 4 \}$

Es wird als nächstes der Nenner auf die andere Seite gebracht. Hierbei muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, da der Nenner negativ und positiv werden kann.

1.) Fallunterscheidung für $x < 4$.

Der Nenner wird negativ. Bei der Multiplikation muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden:

$\frac{5x + 2}{x - 4} < \frac{4}{5}$     |$\cdot (x-4)$

$5x + 2 > \frac{4}{5}(x-4)$   

Nach $x$ auflösen:

$5x + 2 > \frac{4}{5}x - \frac{16}{5}$   |$-\frac{4}{5}x$

$\frac{21}{5}x + 2 > - \frac{16}{5}$      |$-2$

$\frac{21}{5}x > -\frac{26}{5}$             |$ \cdot \frac{5}{21}$

$x > -\frac{26}{21}$

$x > -1,238$

Die Ungleichung kann für $x < 4$ erfüllt werden:

$\{ x \in \mathbb{R} | -1,238 < x < 4 \}$

2.) Fallunterscheidung für $x > 4$

Der Nenner wird positiv. Bei der Multiplikation muss das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht werden:

$\frac{5x + 2}{x - 4} < \frac{4}{5}$     |$\cdot (x-4)$

$5x + 2 < \frac{4}{5}(x-4)$   

Nach $x$ auflösen:

$5x + 2 < \frac{4}{5}x - \frac{16}{5}$   |$-\frac{4}{5}x$

$\frac{21}{5}x + 2 < - \frac{16}{5}$      |$-2$

$\frac{21}{5}x < -\frac{26}{5}$             |$ \cdot \frac{5}{21}$

$x < -\frac{26}{21}$

$x < -1,238$

Diese Ungleichung ist für $x > 4$ nicht erfüllbar. Werden Werte größer als 4 eingesetzt, so resultiert niemals ein Wert kleiner als -1,238. Diese Lösungsmenge ist leer.

Es gilt zunächst, dass bei $x = -1$ beide Nenner den Wert null annehmen, weshalb:

$\{x \in \mathbb{R} | x \neq -1 \}$

Beide Brüche werden als nächstes auf eine Seite gebracht:

$\frac{2x + 6}{x + 1} - \frac{6x - 2}{2x + 2} > 0$

Nun klammern wir beim 2. Bruch die Zahl $2$ im Nenner und Zähler aus. Ziel ist das Kürzen der $2$ im Nenner:

$\frac{2x + 6}{x + 1} - \frac{2(3x - 1)}{2(x + 1)} > 0$

Kürzen der $2$:

$\frac{2x + 6}{x + 1} - \frac{3x - 1}{x + 1} > 0$

Es sind beide Nenner gleichnamig. Deswegen können die Zähler zusammengezogen werden:

$\frac{2x + 6 - (3x - 1)}{x + 1} > 0$

$\frac{2x + 6 - 3x + 1}{x + 1} > 0$

$\frac{7 - x}{x + 1} > 0$

Fallunterscheidung vornehmen! Bei $x = -1$ wird der Nenner Null. Deshalb wird nun die Fallunterscheidung vorgenommen.

1.) Auflösen nach $x$ für den Fall $x > -1$: Der Nenner wird positiv, das Ungleichheitszeichen muss nicht umgedreht werden.

$\frac{7 - x}{x + 1} > 0$ | $\cdot (x + 1)$

$7 - x > 0$

$7 > x$ 

Hier kann eine Lösungsmenge angegeben werden. $x$ soll größer als $-1$, aber kleiner als $7$ sein:

$\{ x \in \mathbb{R} | -1 < x < 7 \}$

2.) Auflösen nach $x$ für den Fall $x < -1$: Der Nenner wird negativ, das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden.

$\frac{7 - x}{x + 1} > 0$ | $\cdot -(x + 1)$

$7 -x < 0$

$7 < x$

Hier soll $x$ kleiner als $-1$ und gleichzeitig größer als $7$ sein. Das ist nicht möglich, die Lösungsmenge ist hier leer.

Anwendungsbeispiele: Betragsungleichungen

$4|3 - x| - |x + 5| \le 3$

Der Betragsterm $|3 - x|$ wechselt bei $x = 3$ (auflösen nach $x$) sein Vorzeichen. Das bedeutet also bei $x > 3$ wird der Betragsterm negativ und bei $x \le 3$ positiv.

Der Betragsterm $|x + 5|$ wechselt bei $x = -5$ sein Vorzeichen. Das bedeutet, dass bei $x \ge -5$ der Betragsterm positiv wird und bei $x < -5$ negativ. 

Es werden nun die folgenden Fälle betrachtet:

1. Fall: $x < -5$

2. Fall: $-5 \le x \le 3$

3. Fall: $x > 3$

1.Fall: $x < -5$

$4(3-x) - (-(x+5)) \le 3$

Bei $x < -5$ wird der 1. Betragsterm positiv und der 2. Betragsterm negativ.

$12 - 4x + x + 5 \le 3$

$17 - 3x \le 3$

$ -3x \le -14$  

Da die gesamte Ungleichung beim Auflösung nach $x$ mit einem negativen Wert multipliziert wird, muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.

$x \ge \frac{14}{3}$

Da für $x < -5$ die Ungleichung nicht erfüllt werden kann, ist die Lösungsmenge leer.

2. Fall: $-5 \le x \le 3$

$4(3 - x) - (x + 5) \le 3$

Bei $-5 \le x \le 3$ wird der 1. Betragsterm positiv und der 2. Betragsterm positiv.

$12 - 4x - x - 5 \le 3$

$7 - 5x \le 3$

$- 5x \le -4$

Da die gesamte Ungleichung beim Auflösung nach $x$ mit einem negativen Wert multipliziert wird, muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.

$x \ge \frac{4}{5} = 0,8$

Unter der Voraussetzung $-5 \le x \le 3$ erhält man als Teillösung:

$L_1 = \{x \in \mathbb{R} | 0,8 \le x \le 3 \} = [0,8  | 3]$

3. Fall: $x > 3$

$4 (-(3 - x)) - (x + 5) \le 3$

Bei $x > 3$ wird der 1. Betragsterm negativ und der 2. Betragsterm positiv.

$4 (-3 + x) - x - 5 \le 3$

$-12 + 4x - x - 5 \le 3$

$-17 + 3x \le 3$

$3x \le 20$

Da ein positives Vorzeichen vor dem $x$ steht, darf beim Auflösen nach $x$ das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht werden.

$x \le \frac{20}{3}$

Es existiert auch hier eine Lösung, da $x > 3$ und $x \le \frac{20}{3} = 6,67$ eine Lösung angeben:

$L_2 = \{x \in \mathbb{R} | 3 < x \le 6,67 \} = (3 | 6,67]$

Wir können beide Teillösungen zusammenfassen, da die erste Teillösung 3 einschließt und die 2. Teillösung bei größer 3 beginnt:

$L_1 \cup L_2 = [0,8 | 3] \cup (3 | 6,67] = [0,8 | 6,67]$

$|x + 5| - |x - 2| \le |x|$

Der Betragsterm $|x + 5|$ wechselt bei (auflösen nach $x$) $x = -5$ sein Vorzeichen. Das bedeutet also bei $x \ge -5$ wird der Betragsterm positiv und bei $x < -5$ negativ. 

Der Betragsterm $|x - 2|$ wechselt bei $x = 2$ sein Vorzeichen. Das bedeutet, dass bei $x \ge 2$ der Betragsterm positiv wird und bei $x < 2$ negativ. 

Der Betragsterm $|x|$ wechselt bei $x = 0$ sein Vorzeichen. Das bedeutet, dass bei $x \ge 0$ der Betragsterm positiv wird und bei $x < 0$ negativ. 

Es werden nun die folgenden Fälle unterschieden:

1. Fall: $x < -5$

2. Fall: $-5 \le x < 0$

3. Fall: $0 \le x < 2$

4. Fall: $x \ge 2$

1.Fall: $x < -5$

$-(x + 5) - (-(x - 2)) \le -x$

Alle drei Betragsterme werden für $x < -5$ negativ.

$-x - 5 - (-x + 2) \le -x$

$-x - 5 + x - 2 \le -x$

$-7 \le -x$

$7 \ge x$

Da hier kein Widerspruch besteht und keine Untergrenze resultiert, kann x Werte bis Minus unendlich annehmen.

Es ergibt sich die Teillösung:

$\{x \in \mathbb{R} | -\infty < x < -5 \}$

2.Fall: $-5 \le x < 0$

$(x + 5) - (-(x - 2)) \le -x$

Der erste Term wird positiv und die beiden anderen Terme negativ.

$x + 5 + x - 2 \le -x$

$2x + 3  \le -x$

$3x + 3  \le 0$

$3x + 3  \le -3$

$x \le -1$

Es ergibt sich die Teillösung:

$\{x \in \mathbb{R} | -5 \le x \le -1 \}$

3. Fall: $0 \le x < 2$

$(x + 5) - (-(x - 2)) \le x$

Der erste Term wird positiv, der 2. Term negativ und der 3. Term positiv.

$2x + 3  \le x$

$x + 3  \le 0$

$x \le -3$

Da die Ungleichung für $0 \le x < 2$ nicht erfüllt werden kann, ist die Lösungsmenge leer.

4. Fall: $x \ge 2$

$(x + 5) - (x - 2) \le x$

Alle Terme werden positiv.

$7 \le x$

Es ergibt sich die Teillösung:

$\{x \in \mathbb{R} | 7 \le x < \infty \}$