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Bei bestimmten Integralen ist eine Auflösung durch Substitution auf zwei Arten möglich. Das folgende Beispiel soll dies näher verdeutlichen.
Gegeben sei ein bestimmtes Integral $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $, welches integriert werden soll.
1. Mitsubstituieren der Grenzen des bestimmten Integrals
$\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $
Zuerst substituiert man $g^{-1} (x) = x² = t $ mit $g^{-1}´(x) = dt = 2x dx$
$ \rightarrow \ dx = \frac{dt}{2x}$.
Man erhält:
$ \int\limits_{g^{-1} (0)}^{g^{-1} (2)} 2x \ e^t \frac{dt}{2x} = \int\limits_0^4 e^t\ dt = [e^t]_0^4 = e^4 - 1$
Da $x$ zwischen $0$ und $2$ läuft, läuft $ t = x^2 $ zwischen $0$ und $4$. Durch das Mitsubstituieren der Grenzen, erspart man sich das Rücksubstituieren von $t$.
2. Lösen als unbestimmtes Integral und anschließendes Einsetzen der Grenzen
$\int 2x \ e^{x^2} \ dx = \int e^t \ dt = e^t + C$
Rücksubstituieren und einsetzen der Grenzen:
$= e^{x^2} + C \rightarrow [e^{x^2}]_0^2 = e^4 - 1 $
Beide Vorgehensweisen liefern ein identisches Ergebnis.
