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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen

Bei bestimmten Integralen ist eine Auflösung durch Substitution auf zwei Arten möglich. Das folgende Beispiel soll dies näher verdeutlichen.

Gegeben sei ein bestimmtes Integral $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $, welches integriert werden soll. 

1. Mitsubstituieren der Grenzen des bestimmten Integrals

$\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $ 

Zuerst substituiert man $g^{-1} (x) = x² = t $  mit  $g^{-1}´(x) = dt = 2x dx$

$ \rightarrow \ dx = \frac{dt}{2x}$.

Man erhält:

$ \int\limits_{g^{-1} (0)}^{g^{-1} (2)} 2x \ e^t \frac{dt}{2x} = \int\limits_0^4 e^t\ dt = [e^t]_0^4 = e^4 - 1$

Da  $x$  zwischen $0$ und $2$ läuft, läuft $ t = x^2 $ zwischen $0$ und $4$. Durch das Mitsubstituieren der Grenzen, erspart man sich das Rücksubstituieren von $t$. 

2. Lösen als unbestimmtes Integral und anschließendes Einsetzen der Grenzen

$\int  2x \ e^{x^2} \ dx = \int e^t \ dt = e^t + C$

Rücksubstituieren und einsetzen der Grenzen:

$= e^{x^2} + C \rightarrow  [e^{x^2}]_0^2 = e^4 - 1  $

Beide Vorgehensweisen liefern ein identisches Ergebnis.