Die Partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion zu $u'$ bekannt oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.
Methode
Sei $[a. b]$ ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$ zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:
$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$
Beispiel
Gegeben sei das bestimmte Integral: $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.
Es gilt:
$u´ = e^x \to u = e^x$
$v = x \to v´ = 1$
$\int\limits_0^1 e^x \cdot x \ dx = [e^x \cdot x]_0^1 - \int\limits_0^1 e^x \ dx$
$= [e^x \cdot x]_0^1 -[e^x]_0^1 = e - 0 - (e - 1) = 1$
Beispiel
Gegeben sei das bestimmte Integral: $\int\limits_0^1 x \ \ln x dx$.
Es gilt:
$u´ = x \to u = \frac{1}{2}x^2$
$v = \ln x \to v´ = \frac{1}{x}$
$\int\limits_0^1 x \cdot \ln x \ dx = [\frac{1}{2}x^2 \cdot \ln x]_0^1 - \int\limits_0^1 \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \ dx$
$= 0 - \frac{1}{2} \int\limits_0^1 x \ dx = 0 - \frac{1}{4}[x^2]_0^1 = -\frac{1}{4}$
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