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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Partielle Integration bei unbestimmten Integralen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Partielle Integration bei unbestimmten Integralen

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Eine andere Möglichkeit zur Lösung eines unbestimmten Integrals ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten. 

Merke

Die partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens.

Methode

Partielle Integration:

$\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$.

Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, welcher der Faktoren einfacher zu integrieren und welcher einfacher zu differenzieren ist.

Beispiel

Integriere $\int 6x^2 \cdot \ln|x|dx$.

$u´ = 6x^2, \ v = \ln |x|$

$u = 2 x^3, \ v´= \frac{1}{x}$

Unter Verwendung der partiellen Integration erhält man:

 $\int 6x^2 \cdot \ln |x| dx \; = \; 2x^3 \cdot \ln |x| - \int 2x^3 \cdot \frac{1}{x}dx$

$= \; 2x^3 \cdot ln|x| - \int 2x^2 dx$

$= \ 2x^3 \ln |x| - \frac{2}{3}x^3 + C$

Merke

Man sollte immer bedenken, dass die partielle Integration kein Garant für eine Vereinfachung des Integrals ist und folglich nicht immer zur Auflösung des Integrals führt. 

Beispiel

Bestimme das Integral: $\int \sin (\sqrt{x}) dx $

Für diese Variante wird zunächst die Substitution und dann die partielle Integration angewandt:

1. Substituieren:

Methode

$t= \sqrt{x}$  

Andere Schreibweise:

$t = x^{\frac{1}{2}}$

Ableitung nach $x$:

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Methode

$dx = 2 \sqrt{x} \; dt$

Das $dx$ soll ersetzt werden. Innerhalb der Formel ist aber noch ein $x$ enthalten ($\sqrt{x}$), welches eliminiert werden muss. Es gilt:

$t= \sqrt{x}$  


und deswegen:

$dx = 2 t \; dt$

2. Einsetzen

$\int \sin (\sqrt{x}) dx = [\int \sin (t) \cdot 2 t \; dt]$

Es handelt es sich hierbei um 2 Faktoren, welche beide von $t$ abhängig sind. Es wird als nächstes die partielle Integration angewandt.

Methode

$\int u'(t) v(t) \; dt = u(t) \cdot v(t) -\int u(t) \cdot v'(t) \; dt$

$u'(t) = \sin(t)$

$u(t) = -\cos(t)$

$v(t) = 2t$

$v'(t) = 2$

$ \int \sin (\sqrt{x}) dx = [\int \sin(t) \cdot 2t \; dt]  = [-\cos(t) \cdot 2t -\int -\cos(t) \cdot 2\; dt]$

Methode

(1) $ \int \sin (\sqrt{x}) dx = [-\cos(t) \cdot 2t + \int 2\cos(t) \; dt]$


Integration: ($\int \cos(t) dt = \sin(t) + C$):

$ \int \sin (\sqrt{x}) dx = [-\cos(t) \cdot 2t + 2 \sin(t) + C]$

Rücksubstiution mit $t = \sqrt{x}$:

$\int \sin (\sqrt{x}) dx = -\cos(\sqrt{x}) \cdot 2\sqrt{x} + 2 \sin(\sqrt{x}) + C$

Video: Partielle Integration bei unbestimmten Integralen

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