Partielle Integration bei unbestimmten Integralen

Eine andere Möglichkeit zur Lösung eines unbestimmten Integrals ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten. 

Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher überlegen, welcher der Faktoren einfacher zu integrieren und welcher einfacher zu differenzieren ist.

$u´ = 6x^2, \ v = \ln |x|$

$u = 2 x^3, \ v´= \frac{1}{x}$

Unter Verwendung der partiellen Integration erhält man:

 $\int 6x^2 \cdot \ln |x| dx \; = \; 2x^3 \cdot \ln |x| - \int 2x^3 \cdot \frac{1}{x}dx$

$= \; 2x^3 \cdot ln|x| - \int 2x^2 dx$

$= \ 2x^3 \ln |x| - \frac{2}{3}x^3 + C$

Für diese Variante wird zunächst die Substitution und dann die partielle Integration angewandt:

1. Substituieren:

Andere Schreibweise:

$t = x^{\frac{1}{2}}$

Ableitung nach $x$:

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Das $dx$ soll ersetzt werden. Innerhalb der Formel ist aber noch ein $x$ enthalten ($\sqrt{x}$), welches eliminiert werden muss. Es gilt:

$t= \sqrt{x}$  

und deswegen:

$dx = 2 t \; dt$

2. Einsetzen: 

$\int \sin (\sqrt{x}) dx = [\int \sin (t) \cdot 2 t \; dt]$

Es handelt es sich hierbei um 2 Faktoren, welche beide von $t$ abhängig sind. Es wird als nächstes die partielle Integration angewandt.

$u'(t) = \sin(t)$

$u(t) = -\cos(t)$

$v(t) = 2t$

$v'(t) = 2$

$ \int \sin (\sqrt{x}) dx = [\int \sin(t) \cdot 2t \; dt]  = [-\cos(t) \cdot 2t -\int -\cos(t) \cdot 2\; dt]$

Integration: ($\int \cos(t) dt = \sin(t) + C$):

$ \int \sin (\sqrt{x}) dx = [-\cos(t) \cdot 2t + 2 \sin(t) + C]$

Rücksubstiution mit $t = \sqrt{x}$:

$\int \sin (\sqrt{x}) dx = -\cos(\sqrt{x}) \cdot 2\sqrt{x} + 2 \sin(\sqrt{x}) + C$