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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen

Kann eine Funktion nicht direkt integriert werden, so ist es oft möglich diese durch Substitution dennoch zu Lösen. Unter Substitution ist das Ersetzen eines Terms durch einen anderen Term als sog. Stellvertreter zu verstehen. Meist wird der Vereinfachung halber, nur ein neues Symbol für einen ganzen Term eingesetzt. Man gewinnt mehr Übersicht und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer. 

Merke

Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer etc. durch ein $t$ substituiert. Dieses $t$ muss außerdem noch nach $x$ abgeleitet werden, so dass man $\frac{dt}{dx}$ erhält. Umstellen nach $dx$ ersetzt dann das $dx$ der Integration durch $dz$.

Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden.

Beispiel

Integriere $\int (2-4x)^4\ dx$.

1. Zuerst substituiert man die Klammer:

Methode

$ t = 2 - 4x$

Danach wird $t$ nach $x$ abgeleitet:

Methode

$\frac{dt}{dx} = -4$


Es kann als nächstes ganz einfach nach $dx$ aufgelöst werden:

Methode

$dx = \frac{dt}{-4} = - \frac{1}{4} dt$

2. Anschließend ersetzen von $(2-4x)$ durch $t$ und $dx$ durch $-\frac{1}{4} dt$

$\int (2-4x)^4\ dx \; = [ \int t^4(-\frac{1}{4}) \; dt]$.

3. Konstante Terme vor das Integral ziehen

$\int (2-4x)^4\ dx \; = [\int t^4(-\frac{1}{4}) \; dt ]$

$\int (2-4x)^4\ dx \; = [ -\frac{1}{4} \int t^4\ dt]$

4. Integrieren:

$\int (2-4x)^4\ dx \; = [ -\frac{1}{4} \int t^4 \; dt ] = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}t^5 + C  = -\frac{1}{20}t^5 + C$

5. Rücksubstitution:  $ t = 2 - 4x$

$\int (2-4x)^4\ dx \; = -\frac{1}{20}t^5 + C \; = \; -\frac{1}{20}(2-4x)^5 + C$

Die obigen Rechenschritte sind im Ablauf immer identisch und lassen sich mit ein wenig Übung auf jedes andere unbestimmte Integral übertragen.

Beispiel

Integriere $\int 3x^2\ e^{x^3}dx$.

1. Substituieren:

Methode

$t= x^3  

$\frac{dt}{dx} = 3x^2$

$dx = \frac{1}{3x^2} dt$

2. Einsetzen

$\int 3x^2\ e^{x^3}dx = [ \int 3x^2 e^t  \frac{1}{3x^2} dt]$                        Kürzen von  $3x^2$

$\int 3x^2\ e^{x^3}dx = [\int e^t dt]$

3. Entfällt: Keine konstanten Terme vorhanden.

4. Integrieren:

$\int 3x^2\ e^{x^3}dx = [\int e^t \; dt] = [e^t + C] $

5. Rücksubstitution:$t= x^3  $

$\int 3x^2\ e^{x^3}dx =  e^{x^3} +  C $

Beispiel

Integriere $\int \frac{e^t}{e^{2t} + 1} dt$

Hier ist die Abhängigkeit von $t$ gegeben, das bedeutet die Subsitution erfolgt nun über $x$:

Methode

$x = e^t$

Die Ableitung von $x$ nach $t$ ergibt dann:

$\frac{dx}{dt} = e^t $

Oben wurde definiert: $e^t = $x:

$\frac{dx}{dt} = x$


Auflösen nach $dt$:

Methode

$dt = \frac{1}{x} dx$


Es gilt außerdem:

$x = e^t$ und damit $x^2 = e^{2t}$


Einsetzen:

$\int \frac{e^t}{e^{2t} + 1} dt = [\int \frac{x}{x^2 + 1} \cdot \frac{1}{x} dx]$

$\int \frac{e^t}{e^{2t} + 1} dt = [\int \frac{1}{x^2 + 1} \;  dx]$

$\int \frac{e^t}{e^{2t} + 1} dt = [arctan(x) + C]$

Es folgt die Rücksubstitution: $x = e^t$

$\int \frac{e^t}{e^{2t} + 1} dt = [arctan(e^t) + C]$

Bei der hier vorgestellen Substitutionsregel wird die auf Leibniz zurückgehende Schreibweise angewandt. Bei dieser ist häufig auch die partielle Integration zu berücksichtigen. Bei dem Integral $\int \sin (\sqrt{x})$ zum Beispiel muss nach der Substitution zunächst die partielle Integration angewandt werden, bevor die Rücksubstitution erfolgen kann. Die partielle Integration wird im nachfolgenden Abschnitt behandelt und es wird gezeigt, wie das Integral gelöst werden kann.