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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Rechenregeln für unbestimmte Integrale

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Rechenregeln für unbestimmte Integrale

Zur Lösung eines unbestimmten Integrals kann man sich bei der Umformung an den folgenden Regeln orientieren:

Vorziehen eines konstanten Faktors

Beim Vorziehen eines konstanten Faktors geht man so vor, dass der Faktor, welcher eine Konstante darstellt vor das Integral gezogen werden kann. Faktoren zeichnen sich durch ein Multiplikations- bzw. Divisionzeichen aus. Konstant bedeutet, dass dieser Faktor nicht von $x$ abhängig ist.

Methode

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$\int a \cdot f(x) \ dx = a \cdot \int f(x) \ dx $ 

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Integriere das folgende Integral $\int (3 \; \sin x - \frac{5}{x} + \frac{2}{1+x^2} )\ dx $.

Es existieren hier 3 Terme. Alle drei Terme besitzen konstante Faktoren. Der erste Term besitzt den konstanten nicht von $x$ abhängigen Faktor 3. Der zweite Term den Faktor 5 und der dritte Term den Faktor 2.

Man rechnet: 

$\int (3 \; \sin x - \frac{5}{x} + \frac{2}{1+x^2} )\ dx $

= $ 3 \int \sin x\ dx - 5 \int \frac{1}{x} dx + 2 \int \frac{1}{1 + x^2} dx$

= $ -3\; \cos x - 5\; \ln |x| + 2\; \arctan x + C $

Integral der Summe gleich Summe der Integrale

Methode

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$\int (f(x) + g(x) - h(x)) \ dx = \int f(x)\ dx + \int g(x) \ dx - \int h(x) \ dx $

Beispiel

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Integriere das folgende Integral $\int (x^2 + 1)^3 \ dx$.

Man rechnet: 

$\int (x^2 + 1)^3 \ dx$ 

= $\int (x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1) \ dx $

= $\int x^6 \ dx + \int 3x^4 \ dx + \int 3x^2 \ dx + \int 1 \ dx $

=  $\frac{x^7}{7} + \frac{3x^5}{5} + \frac{3x^3}{3} + x + C$

Merke

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Merke:  Für $\int a x^n$ gilt: $a \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$

$\int x^4 \ \rightarrow \ \frac{1}{5} x^5 +  C$

$\int \frac{1}{3} x^2 \ \rightarrow \ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^3 \rightarrow \frac{1}{6} x^3 + C$

$\int x^4 + 3x^5 \ \rightarrow \ \frac{1}{5} x^5 + \frac{1}{2} x^6 + C$

Im Folgenden werden zwei entscheidende Möglichkeiten zur Lösung eines Integrals vorgestellt:

  • Integration durch Substitution und
  • partielle Integration.