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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Uneigentliche Integrale

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale unterscheiden sich von anderen Integralen dadurch, dass der Integrand $\ f(x)$ nur teilweise stetig und folglich beschränkt ist. 

Sie werden als Grenzwerte von bestimmten Integralen definiert und auf gleiche Weise zur Flächenberechnung benutzt. Jedoch erstrecken sich diese Flächen ins Unendliche und besitzen demnach auch keinen endlichen Flächeninhalt. 

Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale

Wie man in der obigen Grafik erkennt, nähert sich die $\color{blue}{Kurve}$ der Geraden, die parallel zu y-Achse verläuft, an, berührt sie aber nicht. Dh. es existiert kein Grenzwert und dementsprechend auch kein endlicher Flächeninhalt. Soll jetzt die Fläche im Intervall $[0,1]$ berechnet werden, kann man nicht einfach das Integral der Funktion $\int\limits_0^1 f(x)$  verwenden, weil $f(x)$ nicht im ganzen Intervall $[0,1]$ definiert ist.

Stattdessen kann man folgenden Ausdruck verwenden

$\int\limits_a^1 f(x)$ mit $0 < a < 1$  und den Grenzwert bestimmen $\lim\limits_{a \to 0} \int\limits_a^1 f(x)$.

Existiert ein entsprechender Grenzwert, so nennt man das uneigentliche Integral konvergent, existiert kein Grenzwert spricht man von divergent. 

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben sei die Funktion: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Uneigentliches Integral
Uneigentliches Integral

Als erstes wird der Flächeninhalt im Intervall $[0,1]$ bestimmt:

$\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} = \lim\limits_{a \to 0} \int\limits_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}}$

$= \lim\limits_{a \to 0} \int\limits_a^1 1 \cdot x^{-\frac{1}{2}} =  \lim\limits_{a \to 0} [\frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} x^{-\frac{1}{2} + 1}]_a^1$

$= \lim\limits_{a \to 0} [2 \sqrt{x}]_a^1 $

$= \lim\limits_{a \to 0} [2 - 2 \sqrt{a}] = 2 - 0 = 2$

Der Flächeninhalt der Funktion $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ im Intervall $[0,1]$ beträgt $2$.

Man unterscheidet 2 Typen von uneigentlichen Integralen:

Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen

Typ II Integrale mit unbeschränkten Integranden