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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Uneigentliche Integrale Typ 2

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Uneigentliche Integrale Typ 2

Typ II Integrale mit unbeschränkten Integranden

Hierbei handelt es sich um Integrale, deren Integrand $f(x)$ am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls $[a, b]$ an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt]. 

Befindet sich die Polstelle am Rand, so ist die Funktion wie folgt :

$\int\limits_a^p f(x) dx$, $p$ ist hier die Polstelle der Funktion $f(x)$. 

Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt definiert:

$\lim_{r \to p, r < p} \int\limits_a^r f(x) dx. $

$r$  nähert sich in diesem Fall ausschließlich von links der "kritischen Stelle" $p$. Wäre die untere Integrationsgrenze die Polstelle  $p$, so würde man sich dem Grenzwert von rechts nähern:

$\lim_{r \to p, r > p} \int\limits_r^a f(x) dx. $

Beispiel

Betrachte das Integral:  $\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx$.
Integrale mit unbeschränkten Integranden
Integrale mit unbeschränkten Integranden

$\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx$

Es ist direkt ersichtlich, dass $x = 1$ eine kritische Stelle darstellt, da die Wurzel aus Null nicht möglich ist: D.h. die Funktion ist an der Stelle $x = 1$ nicht definiert  $\to$  Polstelle. 

1. Umformung der Wurzel

$ \int\limits_0^1 (1-x)^{-\frac{1}{2}} dx$.

2. Betrachte den einseitigen Grenzwert

$ \lim_{r \to 1, r<1} \int\limits_0^r (1-x)^{-\frac{1}{2}}dx$

3. Berechne das bestimmte Integral

$ \int\limits_0^r (1-x)^{-\frac{1}{2}} = -2 [(1 - x)^{\frac{1}{2}}]_0^r = -2 [\sqrt{1-x}]_0^r = -2 \sqrt{1-r} + 2 $

4. Bestimme den Grenzwert

$ \lim_{r \to 1, r<1} \int\limits_0^r (1 - x)^{-\frac{1}{2}}dx = \lim_{r \to 1, r<1} (-2 \sqrt{1-r} + 2) = 2$
 

Der Flächeninhalt der Funktion $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ im Intervall $[0,1]$ beträgt $2$.

Besitzt der Integrand $ f(x)$ im Inneren des Integrationsintervalls eine Polstelle $p$, so muss das Integral an dieser Polstelle  $x = p$  erneut in 2 uneigentliche Integrale aufgespalten werden. Hierbei ist  $x = p$  für das eine Integral die obere und für das andere Integral die untere Grenze. Auch hier gilt: Liefert das Ergebnis, dass beide uneigentlichen Teilintegrale einen endlichen Wert besitzen, so existiert auch das Gesamtintervall.