ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Definition von komplexen Zahlen

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Definition von komplexen Zahlen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Definition von komplexen Zahlen

Wie bereits im Kapitel "Reelle Zahlen" beschrieben, existieren irrationale Zahlen, welche unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen besitzen. Die irrationalen Zahlen berücksichtigen allerdings noch nicht alle Zahlen. So ist zum Beispiel  die $\sqrt{-1}$  keine rationale oder irrationale Zahl. Es existiert keine reelle Zahl, deren Quadrat $-1$ ergibt. Dies liegt daran, dass das Quadrieren jeder reellen (positiven oder negativen) Zahl immer ein positives Ergebnis zur Folge hat. 

komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen hingegen erfassen die Wurzel aus negativen Zahlen. Dies ist nur möglich durch Einführung einer widerspruchsfreien Definition, damit die bisher gültigen Rechenregeln nicht verletzt werden. Verwendet hierfür wird:

Merke

$i = \sqrt{-1}$                                         $i$  steht für imaginär  

$\rightarrow i \cdot i = i^2 = -1$

In der Elektrotechnik wird als Symbol statt  $i$ ein $j$ benutzt, um eine Verwechslung mit dem Momentanwert  $i(t)$  der Stromstärke zu vermeiden.

Realteil und Imaginärteil von komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen bestehen aus dem Realteil $z := x$  und dem Imaginärteil  $z := y$.

Merke

$ \mathbb{C} := \{x + iy \; \; |x,y \in \mathbb{R}\}$             Menge komplexer Zahlen

Die $x$-Achse heißt reelle Achse und die $y$-Achse imaginäre Achse (siehe Grafik):

Komplexe Zahlen (Imaginär, Real)
Komplexe Zahlen (Imaginär, Real)

Beispiel

Es sei folgende komplexe Zahl gegeben: $z = 3 + i\cdot2$. Was ist der Real- und was der Imaginärteil?

Die komplexe Zahl  $z = 3 + i\cdot2$  hat den Realteil  $z = 3$  und den Imaginärteil  $z = 2$.  Die imaginäre Einheit $i$ besteht aus  $i = 0 + i\cdot1$.  Sie hat demnach einen Realteil von $0$ und einen Imaginärteil $1$ (rein-imaginär).

Eine komplexe Zahl die keinen Imaginärteil besitzt kann man mit den reellen Zahlen identifizieren. Hingegen bezeichnet man eine komplexe Zahl die keinen Realteil besitzt als rein-imaginär.

Beispiel

Die komplexe Zahl  $z = \frac{1}{3} + 0 \cdot i$  entspricht der reellen Zahl  $\frac{1}{3}$.  Die komplexe Zahl  $\frac{1}{3} \cdot i$  ist rein-imaginär.