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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Definition von komplexen Zahlen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Definition von komplexen Zahlen

Wie wir bereits im Kapitel "Reelle Zahlen" beschrieben haben, existieren neben rationalen Zahlen auch irrationale Zahlen, welche unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen besitzen. Die reellen Zahlen berücksichtigen allerdings noch nicht alle möglichen Zahlen. So ist zum Beispiel die $\sqrt{-1}$ keine rationale oder irrationale Zahl. Es existiert keine reelle Zahl, deren Quadrat $-1$ ergibt. Dies liegt daran, dass das Quadrieren jeder reellen (positiven oder negativen) Zahl immer ein positives Ergebnis zur Folge hat. 

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen hingegen erfassen die Wurzel aus negativen Zahlen. Dies ist nur durch Einführung einer widerspruchsfreien Definition möglich, damit die bisher gültigen Rechenregeln nicht verletzt werden. Wir definieren hierfür:

Merke

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komplexe Zahl: $z = x + i \cdot y$

Menge der komplexen Zahlen: $ \mathbb{C} := \{x + iy \; \; |x,y \in \mathbb{R}\}$


Die komplexen Zahlen bestehen aus dem Realteil $x$ und dem Imaginärteil $y$, den wir mit $i$ (bedeutet imaginär) multiplizieren. Das $i$ ist selbst keine reelle Zahl. Wir bezeichnen es als imaginäre Einheit der komplexen Zahl.

Merke

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$i = \sqrt{-1}$

$\Longrightarrow \;\; i \cdot i = i^2 = -1$

Hinweis

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In der Elektrotechnik wird als Symbol anstatt einem $i$ ein $j$ benutzt, um eine Verwechslung mit dem Momentanwert $i(t)$ der Stromstärke zu vermeiden.


Eine komplexe Zahl, die keinen Imaginärteil besitzt, kann man als reelle Zahl betrachten. Daraus folgt, dass alle reellen Zahlen in der Menge der komplexen Zahlen enthalten ist.

Eine komplexe Zahl $z = 0 + i \cdot 1$ hingegen, die also keinen Realteil besitzt, bezeichnet man als rein-imaginär.

Beispiel

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Die komplexe Zahl $z = \frac{1}{3} + 0 \cdot i$ entspricht der reellen Zahl $\frac{1}{3}$.

Die komplexe Zahl $z = 0 + \frac{1}{3} \cdot i$ ist rein-imaginär.

 

Anwendungsbeispiel

Beispiel

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Es sei die komplexe Zahl $z = 3 + i \cdot 2$ gegeben. Was ist der Real- und was der Imaginärteil?

Die komplexe Zahl $z = 3 + i\cdot2$ hat den Realteil $x = 3$ und den Imaginärteil $y = 2$.

Grafische Darstellung der komplexen Zahlen

Die Menge der rellen Zahlen lassen sich durch Punkte auf einer Zahlengeraden darstellen.

Die Menge der komplexen Zahlen lassen sich als Punkte in einer Ebene, der gaußschen Zahlenebene (oder komplexe Ebene), veranschaulichen.

Wie du in der folgenden Grafik erkennst, heißt

  • die $x$-Achse, die die Teilmenge der reellen Zahlen enthält, die reelle Achse und
  • die $y$-Achse, die die Teilmenge der rein imaginären Zahlen enthält, die imaginäre Achse.

 

Komplexe Zahlen (Imaginär, Real)
komplexe Zahlen (Imaginärteil, Realteil)