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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Grundrechenarten der komplexen Zahlen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Grundrechenarten der komplexen Zahlen

Addition bzw. Subtraktion komplexer Zahlen

Zur Ermittlung der Summe bzw. Differenz zweier komplexer Zahlen $z = x + i \cdot y$ und $w = c + i \cdot v$ addiert bzw. subtrahiert man jeweils den Realteil und den Imaginärteil getrennt (wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren):

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Addition:  $z + w := (x + c) + i (y + v)$ 

Subtraktion:  $z - w := (x - c) + i (y - v)$

Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation komplexer Zahlen mit einer reellen Zahlen (hier: $\lambda$) entspricht der Skalarmultiplikation von Vektoren:

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Multiplikation mit einer rellen Zahl: $\lambda z := \lambda x + i \cdot \lambda y$

Unter Berücksichtigung von $i^2 = -1$ lässt sich hieraus die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z$ und $w$ ableiten:

Methode

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$z \cdot w = (x + iy)(c + iv)$ 
            $\;\;\;\;\;\;\;\, = xc + x iv + iy c + i^2yv$                                  
            $\;\;\;\;\;\;\;\, = xc + i (xv + yc) + (-1)yv = xc + i (xv + yc) - yv $
            $\;\;\;\;\;\;\;\, = (xc - yv) + i (xv + yc) $

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Multiplikation zweier komplexer Zahlen: $z \cdot w := (x + iy)(c + iv)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, = (xc - yv) + i (xv + yc) $

Division zweier komplexer Zahlen

Die Division von komplexen Zahlen wird mit dem konjugiert komplexen Teil des Nenners erweitert. Bei dem konjugierten Term ändert sich nur das Vorzeichen des imaginären Teils. Der konjugierte Teil wird mit einem Querstrich dargestellt:

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konjugiert komplexe Zahl: $w = c + iu \;\; \longrightarrow \;\; \bar{w} = c - iu$

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenDie konjugiert komplexe Zahl von $m = 1 + 2j \;$ ist $\; \bar{m} = 1 - 2j$.
Die konjugiert komplexe Zahl von $n = -2 - 3j \; $ ist $\; \bar{n} = -2 + 3j$.


Für $z = x + iy$ und $w = c + iv$ mit $w \neq 0$ gilt:

Methode

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$\frac{z}{w} = \frac{x + iy}{c + iv} = \frac{(x + iy)}{(c + iv)} \cdot \frac{(c - iv)}{(c - iv)}$
$\;\;\;\; = \frac{(xc + yv) + i (-xv + yc)}{c^2 + v^2}$
$\;\;\;\; = \frac{xc + yv}{c^2 + v^2} + i \frac{(yc - xv)}{c^2 + v^2}$

Merke

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Division zweier komplexer Zahlen: $\frac{z}{w} := \frac{x + iy}{c + iv}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, = \frac{xc + yv}{c^2 + v^2} + i \frac{(yc - xv)}{c^2 + v^2}$

 

Rechenregeln für $z, w \in \mathbb{C}$ mit $w \neq 0$

(1)  $\overline{\text{z + w}} = \bar{z} + \bar{w}$

(2)  $\overline{\text{zw}} = \bar{z}\bar{w}$

(3)  $\overline{(\frac{z}{w})} = \frac{\bar{z}}{\bar{w}}$

Der Betrag 

Der Betrag |z| von $z = x + iy$  ist definiert als:

$|z| := \sqrt{x^2 + y^2}$

Es gelten folgende Rechenregeln:

(1)  $|z| = \sqrt{z \bar{z}}$

(2)  $|zw| = |z| |w|$

(3)  $|\frac{z}{w}| = \frac{|z|}{|w|}$

(4)  $|z| = |\bar{z}|$

Merke

Hier klicken zum AusklappenDer Betrag einer komplexen Zahl ist ihr Abstand vom Nullpunkt.

Anwendungsbeispiele

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben seien die komplexen Zahlen $z = 2 + i3$ und $w = 4 + i2$. Berechne $z + w$, $z -w$, $z \cdot w$ und $\frac{z}{w}$.

(1) $z + w = 6 + 5i$

(2) $z - w = -2 + i$

(3) $z \cdot w = 8 + 4i + 12i + 6i^2 = 2 + 16i $

(4) $\frac{z}{w} = \frac{2  +  i3}{4  +  i2}\cdot \frac{4  -  i2}{4  -  i2}$

             $= \frac{2\cdot4  +  3\cdot2}{4^2  +  2^2} + i \frac{(3\cdot4  -  2\cdot2)}{4^2  +  2^2} = \frac{7}{10} + \frac{2}{5}i$

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenBeweise: $\overline{\text{z w}} = \bar{z}\bar{w}$

Mit $z = x + iy$  und  $w = c + iv$  gilt:

$\overline{z w} = \overline{(x + iy)(c + iv)}$

$ = \overline{(xc - yv) + i (xv + yc)}$                                                

$ = (xc - yv) - i (xv + yc)$         Vorzeichen des Imaginärteils geändert

Umgekehrt gilt:

$\bar{z}\bar{w} = (x - iy) (c - iv)$

$ = (xc - yv) - i (xv + yc)$