Inhaltsverzeichnis
Addition bzw. Subtraktion komplexer Zahlen
Zur Ermittlung der Summe bzw. Differenz zweier komplexer Zahlen $z = x + i \cdot y$ und $w = c + i \cdot v$ addiert bzw. subtrahiert man jeweils den Realteil und den Imaginärteil getrennt (wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren):
Merke
Addition: $z + w := (x + c) + i (y + v)$
Subtraktion: $z - w := (x - c) + i (y - v)$
Multiplikation komplexer Zahlen
Die Multiplikation komplexer Zahlen mit einer reellen Zahlen (hier: $\lambda$) entspricht der Skalarmultiplikation von Vektoren:
Merke
Multiplikation mit einer rellen Zahl: $\lambda z := \lambda x + i \cdot \lambda y$
Unter Berücksichtigung von $i^2 = -1$ lässt sich hieraus die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z$ und $w$ ableiten:
Methode
$z \cdot w = (x + iy)(c + iv)$
$\;\;\;\;\;\;\;\, = xc + x iv + iy c + i^2yv$
$\;\;\;\;\;\;\;\, = xc + i (xv + yc) + (-1)yv = xc + i (xv + yc) - yv $
$\;\;\;\;\;\;\;\, = (xc - yv) + i (xv + yc) $
Merke
Multiplikation zweier komplexer Zahlen: $z \cdot w := (x + iy)(c + iv)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, = (xc - yv) + i (xv + yc) $
Division zweier komplexer Zahlen
Die Division von komplexen Zahlen wird mit dem konjugiert komplexen Teil des Nenners erweitert. Bei dem konjugierten Term ändert sich nur das Vorzeichen des imaginären Teils. Der konjugierte Teil wird mit einem Querstrich dargestellt:
Merke
konjugiert komplexe Zahl: $w = c + iu \;\; \longrightarrow \;\; \bar{w} = c - iu$
Beispiel
Die konjugiert komplexe Zahl von $n = -2 - 3j \; $ ist $\; \bar{n} = -2 + 3j$.
Für $z = x + iy$ und $w = c + iv$ mit $w \neq 0$ gilt:
Methode
$\frac{z}{w} = \frac{x + iy}{c + iv} = \frac{(x + iy)}{(c + iv)} \cdot \frac{(c - iv)}{(c - iv)}$
$\;\;\;\; = \frac{(xc + yv) + i (-xv + yc)}{c^2 + v^2}$
$\;\;\;\; = \frac{xc + yv}{c^2 + v^2} + i \frac{(yc - xv)}{c^2 + v^2}$
Merke
Division zweier komplexer Zahlen: $\frac{z}{w} := \frac{x + iy}{c + iv}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, = \frac{xc + yv}{c^2 + v^2} + i \frac{(yc - xv)}{c^2 + v^2}$
Rechenregeln für $z, w \in \mathbb{C}$ mit $w \neq 0$
(1) $\overline{\text{z + w}} = \bar{z} + \bar{w}$
(2) $\overline{\text{zw}} = \bar{z}\bar{w}$
(3) $\overline{(\frac{z}{w})} = \frac{\bar{z}}{\bar{w}}$
Der Betrag
Der Betrag |z| von $z = x + iy$ ist definiert als:
$|z| := \sqrt{x^2 + y^2}$
Es gelten folgende Rechenregeln:
(1) $|z| = \sqrt{z \bar{z}}$
(2) $|zw| = |z| |w|$
(3) $|\frac{z}{w}| = \frac{|z|}{|w|}$
(4) $|z| = |\bar{z}|$
Merke
Anwendungsbeispiele
Beispiel
(1) $z + w = 6 + 5i$
(2) $z - w = -2 + i$
(3) $z \cdot w = 8 + 4i + 12i + 6i^2 = 2 + 16i $
(4) $\frac{z}{w} = \frac{2 + i3}{4 + i2}\cdot \frac{4 - i2}{4 - i2}$
$= \frac{2\cdot4 + 3\cdot2}{4^2 + 2^2} + i \frac{(3\cdot4 - 2\cdot2)}{4^2 + 2^2} = \frac{7}{10} + \frac{2}{5}i$
Beispiel
Mit $z = x + iy$ und $w = c + iv$ gilt:
$\overline{z w} = \overline{(x + iy)(c + iv)}$
$ = \overline{(xc - yv) + i (xv + yc)}$
$ = (xc - yv) - i (xv + yc)$ Vorzeichen des Imaginärteils geändert
Umgekehrt gilt:
$\bar{z}\bar{w} = (x - iy) (c - iv)$
$ = (xc - yv) - i (xv + yc)$
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