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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Grundrechenarten der komplexen Zahlen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Grundrechenarten der komplexen Zahlen

Addition bzw. Subtraktion komplexer Zahlen

Zur Ermittlung der Summe bzw. Differenz zweier komplexer Zahlen $z = x + i \cdot y$ und $w = c + i \cdot v$ addiert bzw. subtrahiert man jeweils den Realteil und den Imaginärteil getrennt (wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren):

Merke

Addition:  $z + w := (x + c) + i (y + v)$ 

Subtraktion:  $z - w := (x - c) + i (y - v)$

Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation komplexer Zahlen mit einer reellen Zahlen (hier: $\lambda$)  ist wie die Skalarmultiplikation von Vektoren:

$ \lambda z := \lambda x + i \cdot \lambda y$

Unter Berücksichtigung von $i^2 = -1$  lässt sich hieraus die Multiplikation zweier komplexer Zahlen  $z$  und  $w$  ableiten:

$z \cdot w : = (x + iy)(c + iv)$ 
            $= xc + x iv + iy c + i^2yv$                                           
            $= xc + i (xv + yc) + (-1)yv = xc + i (xv + yc) - yv $
            $=  (xc - yv) + i (xv + yc) $

Division zweier komplexer Zahlen

Die Division wird durch eine Multiplikation mit dem konjugiert komplexen Teil des Nenners erweitert:

Beispiel

Die konjugiert komplexe Zahl von  $1 + 2j$  ist  $1 - 2j$.  Die konjugiert komplexe Zahl von  $-2 - 3j$  ist   $-2 + 3j$.

Sei  $w \neq 0$  , dann gilt:

$\frac{z}{w} = \frac{x + iy}{c + iv} := \frac{(x + iy)}{(c + iv)} \cdot \frac{(c - iv)}{(c - iv)}$

                $= \frac{(xc + yv) + i (-xv + yc)}{c^2 + v^2}$

                $= \frac{xc + yv}{c^2 + v^2} + i \frac{(yc - xv)}{c^2 + v^2}$

Merke

Die Division von komplexen Zahlen wird mit dem konjugierten Teil des Nenners erweitert. Bei dem konjugierten Teil ändert sich nur das Vorzeichen des imaginären Teils. Der konjugierte Teil wird mit einem Querstrich dargestellt:

$w = c + iu \leftrightarrow \bar{w} = c - iu$

Rechenregeln für  $z, w \in \mathbb{C}$  mit $w \neq 0$

(1)  $\overline{\text{z + w}} = \bar{z} + \bar{w}$

(2)  $\overline{\text{zw}} = \bar{z}\bar{w}$

(3)  $\overline{(\frac{z}{w})} = \frac{\bar{z}}{\bar{w}}$

Der Betrag 

Der Betrag |z| von $z = x + iy$  ist definiert als:

$|z| := \sqrt{x^2 + y^2}$

Es gelten folgende Rechenregeln:

(1)  $|z| = \sqrt{z\bar{z}}$

(2)  $|zw| = |z| |w|$

(3)  $|\frac{z}{w}| = \frac{|z|}{|w|}$

(4)  $|z| = |\bar{z}|$

Merke

Der Betrag einer komplexen Zahl ist ihr Abstand vom Nullpunkt.

Anwendung der komplexen Zahlen

Beispiel

Gegeben seien folgende komplexe Zahlen: $z = 2 + i3$  und  $w = 4 + i2$. Berechne $z + w$, $z -w$, $z \cdot w$  und  $\frac{z}{w}$.

(1)  $z + w = 6 + 5i$

(2)  $z - w = -2 + i$

(3)  $z \cdot w = 8 + 4i + 12i + 6i^2 = 2 + 16i $

(4)  $\frac{z}{w} = \frac{2  +  i3}{4  +  i2}\cdot \frac{4  -  i2}{4  -  i2}$

             $=  \frac{2\cdot4  +  3\cdot2}{4^2  +  2^2} + i \frac{(3\cdot4  -  2\cdot2)}{4^2  +  2^2} = \frac{7}{10} + \frac{2}{5}i$

Beispiel

Beweise:   $\overline{\text{z w}} = \bar{z}\bar{w}$

Mit $z = x + iy$  und  $w = c + iv$  gilt:

$\overline{z w} = \overline{(x + iy)(c + iv)}$

$ = \overline{(xc - yv) + i (xv + yc)}$                                                

$ = (xc - yv) - i (xv + yc)$         Vorzeichen des Imaginärteils geändert

Umgekehrt gilt:

$\bar{z}\bar{w} = (x - iy) (c - iv)$

$ = (xc - yv) - i (xv + yc)$