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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Cramersche Regel

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Cramersche Regel

Sei $A$ eine quadratische $(n, n)$-Matrix mit $|A| \neq 0$, so ist

$A\vec{x} = \vec{b}$

eindeutig lösbar. 

Es gilt

$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$  für  $i = 1, ... , n$  mit $\vec{x} = (x_1, ... , x_n)$

Die Matrix $A_i$  wird hierbei gebildet, indem die $i$-te Spalte der Koeffizientenmatrix $A$ durch die rechte Seite des Gleichungssystems $\vec{b}$ ersetzt.

Anwendung der Cramerschen Regel

Beispiel

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Gegeben sei die Matrix  $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & -8 \\ -2 & 6 & 7 \end{pmatrix}$  und der Vektor  $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

Berechnung der Determinante

$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & -8 \\ -2 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

Regel von Sarrus
Regel von Sarrus

$|A| = -1 \cdot 5 \cdot 7 + 2 \cdot 6 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 \cdot (-8) - 4 \cdot 5 \cdot (-2) - (-8) \cdot 6 \cdot (-1) - 7 \cdot 2 \cdot 2 = 9$

Da  $|A| \neq 0$  besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, welche mit der Cramerschen Regel berechnet werden kann.

Für $|A_1|$ wird die 1. Spalte durch $\vec{b}$ ersetzt und die Determinante bestimmt:

$|A_1| = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 242$

Für $|A_2|$ wird die 2. Spalte durch $\vec{b}$ ersetzt und die Determinante bestimmt:

$|A_2| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & -8 \\ -2 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 8$

Für $|A_3|$ wird die 3. Spalte durch $\vec{b}$ ersetzt und die Determinante bestimmt:

$|A_3| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 6 & -1 \end{vmatrix} = 61$

Bestimmung der x-Werte

$x_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{242}{9} \approx 26,88$

$x_2 = \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{8}{9} \approx 0,89$

$x_3 = \frac{|A_3|}{|A|} = \frac{61}{9} \approx 6,78$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 26,89 \\ 0,89 \\ 6,78 \end{pmatrix}$

Wird also der Vektor $\vec{x}$  mit der Matrix  $A$  multipliziert, ergibt sich der Vektor  $\vec{b}$.