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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Determinanten

Unter einer Determinante versteht man einen eindeutigen Zahlenwert, der genau einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.  Ist die Matrix nicht quadratisch, so existiert für sie auch keine Determinante.

Die Determinante hat die Kennzeichnung $\ det(A) $ oder $\ |A| $.

Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe

Zur Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe existieren verschiedene Möglichkeiten, die im Folgenden aufgezeigt werden.

Determinante einer (1, 1) - Matrix

$det(a) = a$

Determinante einer (2, 2) - Matrix

$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}  \; \; \;  det(A) =  a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}$.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Bestimme die Determinante der Matrix $ A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$

$ det(A) = 2 \cdot - 3 - 4 \cdot 6 = -30 $

Die Determinante von A ist gleich $- 30$.

Determinante einer (3, 3) Matrix

$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2}& a_{2,3} \\  a_{3,1} &  a_{3,2} &  a_{3,3} \end{pmatrix}$  

Regel von Sarrus
Regel von Sarrus

Merke

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Regel von Sarrus: Es werden die ersten beiden Zeilen unter die Matrix geschrieben, dann addiert man das Produkt aus den Elementen auf der grünen Diagonalen und subtrahiert davon das Produkt aus den Elementen auf der blauen Diagonalen.


$ det(A) =  a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{2,1}a_{3,2}a_{1,3} + a_{3,1}a_{1,2}a_{2,3} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{2,3}a_{3,2}a_{1,1} - a_{3,3}a_{1,2}a_{2,1}$

Beispiel

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Bestimme die Determinante der Matrix $ A= \begin{pmatrix} 4 & 5 & 3\\ 3 & -2 & 1 \\  0 &  3 &  1 \end{pmatrix}$ 

$ det(A) =  4 \cdot (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 3 + 0 \cdot 5 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 5 \cdot 3 = -8 + 27 + 0 - 0 - 12 -15 = - 8 $

Die Determinante von $A$ ist gleich $-8$.

Merke

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Zur Erinnerung: Es wurde bereits im Kapitel Das Spatprodukt  das Vorgehen für eine solche Rechnung beschrieben und veranschaulicht.