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Unter einer Determinante versteht man einen eindeutigen Zahlenwert, der genau einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Ist die Matrix nicht quadratisch, so existiert für sie auch keine Determinante.
Die Determinante hat die Kennzeichnung $ det(A) $ oder $ |A| $.
Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe
Zur Berechnung der Determinante von Matrizen unterschiedlicher Größe existieren verschiedene Möglichkeiten, die im Folgenden aufgezeigt werden.
Determinante der (0, 0) - Matrix
Die Determinante der (0, 0) - Matrix ist $1$.
Determinante einer (1, 1) - Matrix
$det(a) = a$
Determinante einer (2, 2) - Matrix
$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} \; \; \; det(A) = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}$.
Beispiel
$ det(A) = 2 \cdot - 3 - 4 \cdot 6 = -30 $
Die Determinante von A ist gleich $- 30$.
Determinante einer (3, 3) Matrix
$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2}& a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix}$
Merke
Regel von Sarrus: Es werden die ersten beiden Zeilen unter die Matrix geschrieben, dann addiert man das Produkt aus den Elementen auf der grünen Diagonalen und subtrahiert davon das Produkt aus den Elementen auf der blauen Diagonalen.
$ det(A) = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{2,1}a_{3,2}a_{1,3} + a_{3,1}a_{1,2}a_{2,3} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{2,3}a_{3,2}a_{1,1} - a_{3,3}a_{1,2}a_{2,1}$
Beispiel
Bestimme die Determinante der Matrix $ A= \begin{pmatrix} 4 & 5 & 3\\ 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$!
$ det(A) = 4 \cdot (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 3 + 0 \cdot 5 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 5 \cdot 3 = -8 + 27 + 0 - 0 - 12 -15 = - 8 $
Die Determinante von $A$ ist gleich $-8$.
Merke
Zur Erinnerung: Es wurde bereits im Kapitel Das Spatprodukt das Vorgehen für eine solche Rechnung beschrieben und veranschaulicht.
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