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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit

In diesem Abschnitt soll geprüft werden, ob das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden kann. Dies ist der Fall, wenn bei einer $n \times n$-Matrix $n$ Nullstellen resultieren.

Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit 

Beispiel

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$A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{2} & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Ist die obige Matrix diagonalisierbar?

1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms

Methode

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$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $

mit

$\chi_A(\lambda)$ charakteristisches Polynom


$\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$

$det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & -2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} $


Berechnung der Determinante mittels Regel von Sarrus (ersten beiden Zeilen unten anfügen):

$det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & -2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \\ 2-\lambda & - \sqrt{5} & 0  \\ \sqrt{5} & -2-\lambda & 0 \end{vmatrix} $

$P_n(\lambda) = (2-\lambda) \cdot (-2-\lambda) \cdot (2-\lambda) - (2-\lambda) \cdot (-\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Hinweis

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Nur die beiden Diagonalen sind relevant, weil die anderen zu Null werden!

Ausklammern von $(2-\lambda)$:

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[(-2-\lambda) \cdot (2-\lambda) - (-\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[(-2-\lambda) \cdot (2-\lambda) - (-5)]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[(-2-\lambda) \cdot (2-\lambda) + 5]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[-4 + 2\lambda - 2 \lambda + \lambda^2 + 5]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[1 + \lambda^2 ]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)\cdot ( \lambda^2 +1)$

2. Schritt: Nullstellen\ Eigenwerte bestimmen

Das charakteristische Polynom gleich Null setzen und nach $\lambda$ auflösen:

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)\cdot ( \lambda^2 +1 ) = 0

Hier können die Nullstellen direkt abgelesen werden, ohne eine Polynomdivison durchführen zu müssen. Wird eine Klammer zu Null, so wird der gesamte Ausdruck Null. 

Die erste Klammer wird zu Null für $\lambda_1 = 2$. Die zweite Klammer wird zu Null für:

$\lambda^2 +1 = 0$

$\lambda^2 = -1$

$\lambda = \sqrt{-1}$

Abbruch, es liegen keine weiteren reellen Nullstellen vor. 

Das bedeutet, es existiert 1 Nullstelle bzw. Eigenwert. Bei einer $n \times n = 3 \times 3$-Matrix ist also die Anzahl der Nullstellen geringer als $n$.

Das charakteristische Polynom lässt sich nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen. Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.