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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit

In diesem Abschnitt prüfen wir, ob das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden kann. Dies ist der Fall, wenn bei einer $n \times n$-Matrix $n$ Nullstellen existieren.

Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit 

Beispiel

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$A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Ist die obige Matrix diagonalisierbar?

1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms

Methode

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$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $

mit

$\chi_A(\lambda)$ = charakteristisches Polynom


$\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$

$det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & -2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} $


Berechnung der Determinante mittels Regel von Sarrus (ersten beiden Zeilen unten anfügen):

$det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & -2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \\ 2-\lambda & - \sqrt{5} & 0  \\ \sqrt{5} & -2-\lambda & 0 \end{vmatrix} $

$P_n(\lambda) = (2-\lambda) \cdot (-2-\lambda) \cdot (2-\lambda) - (2-\lambda) \cdot (-\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Hinweis

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Nur diese beiden Diagonalen sind relevant, weil die anderen null werden!

Ausklammern von $(2-\lambda)$:

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[(-2-\lambda) \cdot (2-\lambda) - (-\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[(-2-\lambda) \cdot (2-\lambda) - (-5)]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[(-2-\lambda) \cdot (2-\lambda) + 5]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[-4 + 2\lambda - 2 \lambda + \lambda^2 + 5]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)[1 + \lambda^2 ]$

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)\cdot ( \lambda^2 +1)$

2. Schritt: Nullstellen\ Eigenwerte bestimmen

Das charakteristische Polynom gleich Null setzen und nach $\lambda$ auflösen:

$P_n(\lambda) = (2-\lambda)\cdot ( \lambda^2 +1 ) = 0$

Hier können wir die Nullstellen direkt ablesen, ohne eine Polynomdivison durchführen zu müssen. Wird eine Klammer zu Null, so wird der gesamte Ausdruck Null. 

Die erste Klammer wird zu Null für $\lambda_1 = 2$.

Die zweite Klammer wird zu Null für:

$\lambda^2 +1 = 0$

$\lambda^2 = -1$

$\lambda = \pm \sqrt{-1}$ -> Wurzel aus negativer Zahl für reelle Zahlen nicht möglich

$\Longrightarrow$ Es liegen keine weiteren reellen Nullstellen vor.

Das bedeutet, es existiert eine reelle Nullstelle bzw. ein Eigenwert der Matrix $A$. Bei der gegebenen $n \times n = 3 \times 3$-Matrix ist also die Anzahl der Nullstellen geringer als $n$.

Daraus folgt, dass das charakteristische Polynom sich nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.