In diesem Abschnitt werden die Diagonalmatrix und die Rechenregeln für diese eingeführt.
Als Diagonalmatrix bezeichnet man eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt.
$ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \;\;\;$ Diagonalmatrix
Sind dabei alle Zahlen auf der Hauptdiagonalen identisch, so spricht man auch von Skalarmatrizen. Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix.
$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \;\;\;$ Einheitsmatrix
$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \;\;\;$ Skalarmatrix
$\Longrightarrow A = 3 \cdot E \longrightarrow$ Skalarmatrizen sind skalare Vielfache der Einheitsmatrix.
Matrizenaddition von Diagonalmatrizen
Methode
Werden zwei Diagonalmatrizen $A$ und $B$ miteinander addiert, so müssen nur die diagonalen Einträge miteinander addiert werden.
Beispiel
Addition von $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
$A + B = (3+4, 2+1, 4 + 2) = (7, 3, 6)$
$ A + B = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$
Methode
Wird eine Matrix zu einer Diagonalmatrix addiert, so ändern sich auch hier nur die Werte in der Diagonalen.
Beispiel
Addition von Matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ und Diagonalmatrix $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
$A + D = (3+4, 2+1, 4 + 2) = (7, 3, 6)$
$ A + D = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}$
Merke
Die Matrizenaddition ist kommutativ: $A + D = D + A$
MatrizenMultiplikation von Diagonalmatrizen
Multiplikation mit einem Skalar
Methode
Die Multiplikation einer Diagonalmatrix mit einem Skalar wird so durchgeführt, indem nur die diagonalen Einträge mit diesem Skalar multipliziert werden.
Beispiel
Vervielfachen der Diagonalmatrix $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ mit dem Faktor 3.
$3 \cdot D = 3 \cdot (4, 1, 2) = (12, 3, 6)$
$3 \cdot D = \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$
Multiplikation mit einer Matrix
Beispiel
Multiplikation der Matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ mit der Diagonalmatrix $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Methode
Multiplikation von links:
Multiplikation einer Matrix von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von $A$ mit den Diagonaleinträgen.
$A \cdot D = [(3,1,2) \cdot (4,1,2)] \; [(1,2,3) \cdot (4,1,2)] \; [(2,1,4) \cdot (4,1,2)] = (12, 1, 4), (4,2, 6), (8, 1, 8) $
$A \cdot D = \begin{pmatrix} 12 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 6 \\ 8 & 1 & 8 \end{pmatrix}$
Methode
Multiplikation von rechts:
Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von $A$ mit den Diagonaleinträgen.
$D \cdot A = [(4,1,2) \cdot (3,1,2)] \; [(4,1,2) \cdot (1,2,1] \; [(4,1,2) \cdot (2,3,4)] = (12, 1, 4), (4,2, 2), (8, 3, 8) $
$D \cdot A = \begin{pmatrix} 12 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 8 \end{pmatrix}$
Merke
Die Diagonalmatrix bietet also bei den Berechnungen Vorteile, weil die Anzahl der Rechenschritte sich stark reduzieren lässt.
Hinweis
Wie eine Matrix in eine Diagonalmatrix überführt werden kann, zeigen wir dir im folgenden Abschnitt.
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