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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Diagonalmatrix

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Diagonalmatrix

In diesem Abschnitt werden die DiagonalMatrix und die Rechenregeln für diese eingeführt.

Als Diagonalmatrix bezeichnet man eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt.

$ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \;\;\;$ Diagonalmatrix

Sind dabei alle Zahlen auf der Hauptdiagonalen identisch, so spricht man auch von Skalarmatrizen. Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix.

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \;\;\;$     Einheitsmatrix

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \;\;\;$     Skalarmatrix

$\Longrightarrow A = 3 \cdot E \longrightarrow$ Skalarmatrizen sind skalare Vielfache der Einheitsmatrix.

 

Matrizenaddition von Diagonalmatrizen

Methode

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Werden zwei Diagonalmatrizen $A$ und $B$ miteinander addiert, so müssen nur die diagonalen Einträge miteinander addiert werden.

Beispiel

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Addition von $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.

$A + B =  (3+4, 2+1, 4 + 2) = (7, 3, 6)$

$ A + B = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

Methode

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Wird eine Matrix zu einer Diagonalmatrix addiert, so ändern sich auch hier nur die Werte in der Diagonalen.

Beispiel

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Addition von Matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ und Diagonalmatrix $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.

$A + D = (3+4, 2+1, 4 + 2) = (7, 3, 6)$

$ A + D = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}$   

Merke

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Die Matrizenaddition ist kommutativ: $A + D = D + A$

MatrizenMultiplikation von Diagonalmatrizen

Multiplikation mit einem Skalar

Methode

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Die Multiplikation einer Diagonalmatrix mit einem Skalar wird so durchgeführt, indem nur die diagonalen Einträge mit diesem Skalar multipliziert werden.

Beispiel

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Vervielfachen der Diagonalmatrix $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ mit dem Faktor 3.

$3 \cdot D = 3 \cdot (4, 1, 2) = (12, 3, 6)$

$3 \cdot D = \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

Multiplikation mit einer Matrix

Beispiel

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Multiplikation der Matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ mit der Diagonalmatrix $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Methode

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Multiplikation von links:

Multiplikation einer Matrix von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von $A$ mit den Diagonaleinträgen.

 

$A \cdot D = [(3,1,2) \cdot (4,1,2)] \;  [(1,2,3) \cdot (4,1,2)]  \; [(2,1,4) \cdot (4,1,2)] = (12, 1, 4), (4,2, 6), (8, 1, 8) $

$A \cdot D = \begin{pmatrix} 12 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 6 \\ 8 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

Methode

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Multiplikation von rechts:

Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von $A$ mit den Diagonaleinträgen.

$D \cdot A = [(4,1,2) \cdot (3,1,2)] \;  [(4,1,2) \cdot (1,2,1]  \; [(4,1,2) \cdot (2,3,4)] = (12, 1, 4), (4,2, 2), (8, 3, 8) $

$D \cdot A = \begin{pmatrix} 12 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 8 \end{pmatrix}$

 

Merke

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Die Diagonalmatrix bietet also bei den Berechnungen Vorteile, weil die Anzahl der Rechenschritte sich stark reduzieren lässt.

 

Hinweis

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Wie eine Matrix in eine Diagonalmatrix überführt werden kann, zeigen wir dir im folgenden Abschnitt.