Inhaltsverzeichnis
Wir wollen uns als nächstes mit der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren beschäftigen.
Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Die Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ heißen linear abhängig, wenn gilt:
Methode
$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n} = \vec{0}$
mit
$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) \in \mathbb{R}$
Dabei dürfen nicht alle $\lambda_i \; (i = 1,2,...,n)$ den Wert Null annehmen, damit die obige Gleichung erfüllt ist.
Merke
Lässt sich also der Nullvektor $\vec{0} = (0,0,0)$ durch eine Linearkombination aus den Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ darstellen und ist mindestens ein $\lambda_i$ ungleich null, so sind die Vektoren linear abhängig.
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Die Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ heißen linear unabhängig, wenn gilt:
Methode
$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n} = \vec{0}$
mit
$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) \in \mathbb{R}$
$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) = 0$
Damit die obige Gleichung erfüllt ist, müssen alle $\lambda_i \; (i = 1,2,...,n)$ den Wert null annehmen.
Merke
Der Nullvektor $\vec{0} = (0,0,0)$ darf sich nur durch eine Linearkombination aus den Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ ergeben, wenn alle $\lambda_i$ gleich null gesetzt werden. Dann sind alle Vektoren linear unabhängig.
Hinweis
In den beiden nachfolgenden Abschnitten werden wir die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren im $\mathbb{R}^2$ und im $\mathbb{R}^3$ betrachten.
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