ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren

Wir wollen uns als nächstes mit der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren beschäftigen. 

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Die Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ heißen linear abhängig, wenn gilt: 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n} = \vec{0}$

mit

$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) \in \mathbb{R}$

Dabei dürfen nicht alle $\lambda_i \; (i = 1,2,...,n)$ den Wert Null annehmen, damit die obige Gleichung erfüllt ist.

 

Lässt sich also der Nullvektor $\vec{0} = (0,0,0)$ durch eine Linearkombination aus den Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ darstellen und ist mindestens ein $\lambda_i$ ungleich Null, so sind die Vektoren linear abhängig. 

Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Die Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ heißen linear unabhängig, wenn gilt: 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n} = \vec{0}$

mit

$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) \in \mathbb{R}$

$\lambda_i \; (i = 1,2,...,n) = 0$

Alle $\lambda_i \; (i = 1,2,...,n)$ müssen den Wert Null annehmen, damit die obige Gleichung erfüllt ist.

 

Der Nullvektor $\vec{0} = (0,0,0)$ darf sich nur durch eine Linearkombination aus den Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $...$, $\vec{a_n}$ ergeben, wenn alle $\lambda_i$ gleich Null gesetzt werden. Dann sind alle Vektoren linear unabhängig.

 

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

In den beiden nachfolgenden Abschnitten werden wir die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren im $\mathbb{R}^2$ und im $\mathbb{R}^3$ betrachten.