Lineare Abhängigkeit im R²

Zwei Vektoren im R²

Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

Daraus folgt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen.

Alternativ kann bei zwei Vektoren die folgende Definition verwendet werden:

Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren sich als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

Es gilt also:

• Zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander darstellen.
  
  
• In der graphischen Darstellung gilt, dass zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ genau dann linear abhängig sind, wenn diese parallel zueinander sind.

Anwendungsbeispiel

Dazu betrachten wir zunächst als einfaches Beispiel die Einheitsvektoren im $\mathbb{R}^2$.

Da die beiden Einheitsvektoren nicht parallel zueinander sind und im $\mathbb{R}^2$ liegen, sind diese unabhängig voneinander. 

Berechnung:

Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

$\lambda_1 \vec{e_x} + \lambda_2 \vec{e_y} = \vec{0}$

$\lambda_1 (1,0) + \lambda_2 (0,1) = \vec{0}$

Wir können nun beide Vektoren zusammenfassen und die Determinante bestimmen. Ist die Determinante gleich null, so sind beide Vektoren linear abhängig voneinander. 

Die Determinante einer $2 \times 2$-Matrix berechnet sich wie folgt:

$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} \; \; \; \; det(A) = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}$

$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \; \; \; det(A) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1$

Da die Determinante ungleich null ist, sind beide Vektoren voneinander unabhängig.

Alternative Berechnung:

Die beiden Vektoren $\vec{e_x}, \vec{e_y}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

$\vec{e_x} = \lambda \vec{e_y}$ 

$(1,0) = \lambda (0,1)$

Lineares Gleichungsystem:

(1) $1 = \lambda \cdot 0$   $\Rightarrow L={ }$ Leere Menge

(2) $0 = \lambda \cdot 1$    $\Rightarrow \lambda = 0$

In der ersten Gleichung (1) existiert keine Lösung, da linke und rechte Seite nicht gleich sind. Es gibt also keinen Wert für die Variable $\lambda$, welche die linke Seite (=1) ergeben würde. Die Lösungsmenge ist daher leer. Aus der zweiten Gleichung (2) erhalten wir $\lambda = 0$. Da $\lambda$ nicht überall den selben Wert annimmt, sind die beiden Vektoren voneinander unabhängig, ebenso wenn $\lambda$ überall den Wert null annimmt. (D. h. die beiden Vektoren sind also nur dann linear abhängig voneinander, wenn $\lambda$ denselben Wert annimmt und dieser ungleich Null ist.)

Drei und mehr Vektoren im R²

Sind im $\mathbb{R}^2$ zwei unabhängige Vektoren gegeben, so ist jeder weitere Vektor im $\mathbb{R}^2$ linear abhängig von diesen beiden Vektoren. 

Anwendungsbeispiel

Wir zeigen dies anhand eines Beispiels.

Beide Vektoren sind voneinander unabhängig, weil der Vektor $\vec{a}$ sich nicht als Linearkombination des Vektors $\vec{b}$ darstellen lässt:

$\vec{a} = \lambda \vec{b}$

$(1,2) = \lambda \cdot (2,1)$

Wir stellen das Gleichungssystem auf und lösen auf nach $\lambda$:

$1 = 2 \lambda \;\;\; \Rightarrow \;\;\;\ \lambda = \frac{1}{2}$

$2 = 1 \lambda \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \lambda = 2$

Es resultieren zwei unterschiedliche Werte für $\lambda$. Demnach sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Es gibt also kein $\lambda$, welches mit dem Vektor $\vec{a_2}$ multipliziert den Vektor $\vec{a_1}$ als Ergebnis hat (und anders herum).

Betrachten wir nun einen dritten Vektor $\vec{c} = (3,5)$, so ist dieser linear abhängig von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$, da er sich als Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen lässt.

$\vec{c} = \lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b}$

$(3,5) = \lambda_1 (1,2) + \lambda_2 \cdot (2,1)$

Lineares Gleichungssystem:

(1) $\;3 = \lambda_1 + 2 \lambda_2$  

(2) $\;5 = 2 \lambda_1 + \lambda_2$  

Gleichung (1) nach $\lambda_1$ auflösen:

$\lambda_1 = 3 - 2 \lambda_2$

Einsetzen in Gleichung (2) liefert:

$5 = 2 (3 - 2 \lambda_2) + \lambda_2$  

Nach $\lambda_2$ auflösen:

$\lambda_2 = \frac{1}{3}$

$\lambda_2$ in die umgeformte Gleichung (1) einsetzen:

$\lambda_1 = 3 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

$\Longrightarrow \;\; \lambda_1 = \frac{7}{3}$ und $ \lambda_2 = \frac{1}{3}$

Der Vektor $(3,5)$ kann mithin als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden und ist damit linear abhängig.

Zusammenfassung:

• Sind zwei Vektoren im R² gegeben, so bestimmt sich die lineare Abhängigkeit indem der eine Vektor als Linearkombination des anderen Vektors dargestellt wird. Die Auflösung nach $\lambda$ zeigt dann an, ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig voneinander sind:
  
  $\lambda$ nimmt unterschiedliche Werte an.   $\;\;\;\; \Rightarrow \;$ linear unabhängig
  $\lambda$ nimmt den Wert Null an.   $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \Rightarrow \;$ linear unabhängig
  $\lambda$ nimmt einen Wert ungleich Null an.   $\;\; \Rightarrow \;$ linear abhängig

• Sind drei Vektoren im R² gegeben, so bestimmt sich die lineare Abhängigkeit, indem einer der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden Vektoren dargestellt wird. 
  
  Alle $\lambda_i$ nehmen den Wert Null an.    $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \Rightarrow \;$ linear unabhängig
  Mindestens ein $\lambda$ nimmt nicht den Wert Null an.  $\;\;\Rightarrow \;$ linear abhängig