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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Lineare Abhängigkeit im R²

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Lineare Abhängigkeit im R²

Zwei Vektoren im R²

Zwei Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

Methode

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$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$

mit

$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$

Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert Null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen.


 

Alternativ kann bei zwei Vektoren die folgende Definition verwendet werden:

Zwei Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren sich als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

Methode

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$\vec{a_1} = \lambda \vec{a_2}$

Ergibt sich für $\lambda$ ein Wert ungleich Null, so sind die beiden Vektoren voneinander abhängig. 

Prüfungstipp

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Bei der Prüfung der linearen Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit sollte bei zwei Vektoren (im $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, ..., \mathbb{R}^n$) grundsätzlich diese Definition herangezogen werden (einfache Berechnung, da nur ein $\lambda$). Ergeben die Vektoren eine $n \times n$-Matrix (also eine quadratische Matrix), so kann auch die Determinante bestimmt werden, indem beide Vektoren in eine Matrix eingetragen werden.

 

Es gilt also:

  • Zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander darstellen.

  • Grafisch gilt, dass zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ genau dann linear abhängig sind, wenn diese parallel zueinander sind.


Dazu betrachten wir zunächst vereinfacht die Einheitsvektoren im $\mathbb{R}^2$:

Beispiel

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$\vec{e_x} = (1,0)$ und $\vec{e_y} = (0,1)$


Da die beiden Einheitsvektoren nicht parallel zueinander sind und im $\mathbb{R}^2$ liegen, sind diese unabhängig voneinander. 

Berechnung:

Zwei Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

$\lambda_1 \vec{e_x} + \lambda_2 \vec{e_y} = \vec{0}$

$\lambda_1 (1,0) + \lambda_2 (0,1) = \vec{0}$

 


Wir können nun beide Vektoren zusammenfassen und die Determinante bestimmen. Ist die Determinante gleich Null, so sind beide Vektoren linear abhängig voneinander. 

Die Determinante einer 2X2-Matrix berechnet sich wie folgt:

$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} \; \; \; \; det(A) = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}$.


$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \; \; \; det(A) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1$

Da die Determinante ungleich Null ist, sind beide Vektoren voneinander unabhängig.

Hinweis

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Die Berechnung von Determinanten ist bereits im Kapitel Matrizen aufgezeigt worden.

 


Alternative Berechnung:

Die beiden Vektoren $\vec{e_x}, \vec{e_y}$ sind genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren sich als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

$\vec{e_x} = \lambda \vec{e_y}$ 

 $(1,0) = \lambda (0,1)$

 

Lineares Gleichungsystem:

$1 = \lambda \cdot 0$   $\Rightarrow \lambda = 1$

$0 = \lambda \cdot 1$    $\Rightarrow \lambda = 0$

Da $\lambda$ nicht überall den selben Wert annimmt, sind die beiden Vektoren voneinander unabhängig. Nimmt $\lambda$ überall den Wert Null an, so sind die Vektoren ebenfalls unabhängig. Die beiden Vektoren sind bei der obigen Darstellung also nur dann linear abhängig voneinander, wenn $\lambda$ denselben Wert annimmt und dieser ungleich Null ist.

 

Prüfungstipp

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   Lineare Abhängigkeit - Vektoren im R² Zum Download: 2 Vektoren im R² 

Drei und mehr Vektoren

Sind im $\mathbb{R}^2$ zwei unabhängige Vektoren gegeben, so ist jeder weitere Vektor im $\mathbb{R}^2$ linear abhängig von diesen Vektoren. 

Hinweis

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Im späteren Abschnitt wird die Basis von Vektoren behandelt. Im $\mathbb{R}^2$ bilden zwei linear unabhängige Vektoren eine Basis.

Wir zeigen dies anhand eines Beispiels. Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a} = (1,2)$ und $\vec{b} = (2,1)$.

Beide Vektoren sind voneinander unabhängig, weil der Vektor $\vec{a}$ sich nicht als Linearkombination des Vektors $\vec{b}$ darstellen lässt:

$\vec{a} = \lambda \vec{b}$

$(1,2) = \lambda  \cdot (2,1)$


Gleichungssystem aufstellen und nach $\lambda$ auflösen:

$1 = 2 \lambda$   $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

$2 = 1 \lambda$   $\Rightarrow \lambda = 2$

 

Es resultieren zwei unterschiedliche Werte für $\lambda$, demnach sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Es gibt also kein $\lambda$, welches mit dem Vektor $\vec{a_2}$ multipliziert den Vektor $\vec{a_1}$ als Ergebnis hat (und anders herum).

Betrachten wir nun einen dritten Vektor $\vec{c} = (3,5)$ so ist dieser linear abhängig von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. 

Merke

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Der Vektor $\vec{c}$ lässt sich als Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen.

$\vec{c} = \lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b}$

$(3,5) = \lambda_1 (1,2) + \lambda_2 \cdot (2,1)$

Lineares Gleichungssystem:

(1) $3 = \lambda_1 + 2 \lambda_2$  

(2) $5 = 2 \lambda_1 +  \lambda_2$  

 

(1) auflösen nach $\lambda_1$:

(3) $\lambda_1 = 3 - 2 \lambda_2$


(3) Einsetzen in (2):

$5 = 2 (3 - 2 \lambda_2) + \lambda_2$  

Nach $\lambda_2$ auflösen:

$\lambda_2 = \frac{1}{3}$

$\lambda_2$ einsetzen in (3):

$\lambda_1 = 3 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Der Vektor $(3,5)$ kann also als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden und ist damit linear abhängig. Jeder andere Vektor im $\mathbb{R}^2$ kann als Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden und ist damit linear abhängig von diesen.

Merke

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FAZIT: Im $\mathbb{R}^2$ können immer nur zwei Vektoren linear unabhängig voneinander sein. Jeder weitere Vektor lässt sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen und ist damit abhängig von diesen Vektoren.

 


Zusammenfassung:

  • Sind zwei Vektoren im R² gegeben, so bestimmt sich die lineare Abhängigkeit indem der eine Vektor als Linearkombination des anderen Vektors dargestellt wird. Die Auflösung nach $\lambda$ zeigt dann an, ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig voneinander sind:

    $\lambda$ nimmt unterschiedliche Werte an     $\Rightarrow$ linear unabhängig
    $\lambda$ nimmt den Wert Null an                  $\Rightarrow$ linear unabhängig
    $\lambda$ nimmt einen Wert ungleich Null an   $\Rightarrow$ linear abhängig

 

  • Sind drei Vektoren im R² gegeben, so bestimmt sich die lineare Abhängigkeit indem einer der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden Vektoren dargestellt wird. 

    Alle $\lambda_i$ nehmen den Wert Null an    $\Rightarrow$ linear unabhängig
    Mindestens ein $\lambda$ nimmt nicht den Wert Null an  $\Rightarrow$ linear abhängig