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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Lineare Abhängigkeit im R²

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Lineare Abhängigkeit im R²

Zwei Vektoren im R²

Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

Methode

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$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$

mit

$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$

Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig.

Daraus folgt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen.


Alternativ kann bei zwei Vektoren die folgende Definition verwendet werden:

Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren sich als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

Methode

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$\vec{a_1} = \lambda \vec{a_2}$

Ergibt sich für $\lambda$ ein Wert ungleich null, so sind die beiden Vektoren voneinander abhängig

 

Prüfungstipp

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Bei der Prüfung der linearen Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit sollte bei zwei Vektoren (im $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, ..., \mathbb{R}^n$) grundsätzlich diese Definition herangezogen werden (einfache Berechnung, da nur ein $\lambda$). Ergeben die Vektoren eine $n \times n$-Matrix (also eine quadratische Matrix), so kann auch die Determinante bestimmt werden, indem beide Vektoren in eine Matrix eingetragen werden.

 

Es gilt also:

  • Zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander darstellen.

  • In der graphischen Darstellung gilt, dass zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ genau dann linear abhängig sind, wenn diese parallel zueinander sind.

 

Anwendungsbeispiel

Dazu betrachten wir zunächst als einfaches Beispiel die Einheitsvektoren im $\mathbb{R}^2$.

Beispiel

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$\vec{e_x} = (1,0)$ und $\vec{e_y} = (0,1)$


Da die beiden Einheitsvektoren nicht parallel zueinander sind und im $\mathbb{R}^2$ liegen, sind diese unabhängig voneinander. 

Berechnung:

Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

$\lambda_1 \vec{e_x} + \lambda_2 \vec{e_y} = \vec{0}$

$\lambda_1 (1,0) + \lambda_2 (0,1) = \vec{0}$

Wir können nun beide Vektoren zusammenfassen und die Determinante bestimmen. Ist die Determinante gleich null, so sind beide Vektoren linear abhängig voneinander. 

Die Determinante einer $2 \times 2$-Matrix berechnet sich wie folgt:

$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} \; \; \; \; det(A) = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}$


$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \; \; \; det(A) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1$

Da die Determinante ungleich null ist, sind beide Vektoren voneinander unabhängig.

Hinweis

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Die Berechnung von Determinanten haben wir bereits im Kapitel Matrizen gezeigt.

 


Alternative Berechnung:

Die beiden Vektoren $\vec{e_x}, \vec{e_y}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

$\vec{e_x} = \lambda \vec{e_y}$ 

$(1,0) = \lambda (0,1)$

 

Lineares Gleichungsystem:

$1 = \lambda \cdot 0$   $\Rightarrow \lambda = 1$

$0 = \lambda \cdot 1$    $\Rightarrow \lambda = 0$

Da $\lambda$ nicht überall den selben Wert annimmt, sind die beiden Vektoren voneinander unabhängig, ebenso wenn $\lambda$ überall den Wert null annimmt. (D. h. die beiden Vektoren sind also nur dann linear abhängig voneinander, wenn $\lambda$ denselben Wert annimmt und dieser ungleich Null ist.)

 

Prüfungstipp

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   Lineare Abhängigkeit - Vektoren im R² Zum Download: 2 Vektoren im R² 

Drei und mehr Vektoren im R2

Sind im $\mathbb{R}^2$ zwei unabhängige Vektoren gegeben, so ist jeder weitere Vektor im $\mathbb{R}^2$ linear abhängig von diesen beiden Vektoren. 

Hinweis

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In einem späteren Abschnitt wird die Basis von Vektoren behandelt. Im $\mathbb{R}^2$ bilden zwei linear unabhängige Vektoren eine Basis.

Anwendungsbeispiel

Wir zeigen dies anhand eines Beispiels.

Beispiel

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Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a} = (1,2)$ und $\vec{b} = (2,1)$.

Beide Vektoren sind voneinander unabhängig, weil der Vektor $\vec{a}$ sich nicht als Linearkombination des Vektors $\vec{b}$ darstellen lässt:

$\vec{a} = \lambda \vec{b}$

$(1,2) = \lambda \cdot (2,1)$


Wir stellen das Gleichungssystem auf und lösen auf nach $\lambda$:

$1 = 2 \lambda \;\;\; \Rightarrow \;\;\;\ \lambda = \frac{1}{2}$

$2 = 1 \lambda \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \lambda = 2$

 

Es resultieren zwei unterschiedliche Werte für $\lambda$. Demnach sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Es gibt also kein $\lambda$, welches mit dem Vektor $\vec{a_2}$ multipliziert den Vektor $\vec{a_1}$ als Ergebnis hat (und anders herum).

Betrachten wir nun einen dritten Vektor $\vec{c} = (3,5)$, so ist dieser linear abhängig von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$, da er sich als Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen lässt.

$\vec{c} = \lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b}$

$(3,5) = \lambda_1 (1,2) + \lambda_2 \cdot (2,1)$

Lineares Gleichungssystem:

(1) $\;3 = \lambda_1 + 2 \lambda_2$  

(2) $\;5 = 2 \lambda_1 + \lambda_2$  

 

Gleichung (1) nach $\lambda_1$ auflösen:

$\lambda_1 = 3 - 2 \lambda_2$


Einsetzen in Gleichung (2) liefert:

$5 = 2 (3 - 2 \lambda_2) + \lambda_2$  

Nach $\lambda_2$ auflösen:

$\lambda_2 = \frac{1}{3}$

$\lambda_2$ in die umgeformte Gleichung (1) einsetzen:

$\lambda_1 = 3 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

$\Longrightarrow \;\; \lambda_1 = \frac{7}{3}$ und $ \lambda_2 = \frac{1}{3}$

Der Vektor $(3,5)$ kann mithin als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden und ist damit linear abhängig.

Merke

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FAZIT: Im $\mathbb{R}^2$ können immer nur zwei Vektoren linear unabhängig voneinander sein. Jeder weitere Vektor lässt sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen und ist damit abhängig von diesen Vektoren.

 


Zusammenfassung:

  • Sind zwei Vektoren im R² gegeben, so bestimmt sich die lineare Abhängigkeit indem der eine Vektor als Linearkombination des anderen Vektors dargestellt wird. Die Auflösung nach $\lambda$ zeigt dann an, ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig voneinander sind:

    $\lambda$ nimmt unterschiedliche Werte an.   $\;\;\;\; \Rightarrow \;$ linear unabhängig
    $\lambda$ nimmt den Wert Null an.   $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \Rightarrow \;$ linear unabhängig
    $\lambda$ nimmt einen Wert ungleich Null an.   $\;\; \Rightarrow \;$ linear abhängig

 

  • Sind drei Vektoren im R² gegeben, so bestimmt sich die lineare Abhängigkeit, indem einer der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden Vektoren dargestellt wird. 

    Alle $\lambda_i$ nehmen den Wert Null an.    $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \Rightarrow \;$ linear unabhängig
    Mindestens ein $\lambda$ nimmt nicht den Wert Null an.  $\;\;\Rightarrow \;$ linear abhängig