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Technische Mechanik 3: Dynamik - Gesamtimpuls / Impulssatz

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Gesamtimpuls / Impulssatz

In diesem Abschnitt wird der Gesamtimpuls und der Impulssatz für das Massenpunktsystem aufgeführt.

Gesamtimpuls des Massenpunktsystems

Der Gesamtimpuls eines Massenpunktes ergibt sich zu (siehe Kapitel Impulssatz des vorherigen Kapitels):

Methode

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$p = mv$  


Der Gesamtimpuls für ein Massenpunkt $m_i$ eines Massenpunktsystems ist demnach:

Methode

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$p_i = m_iv_i $       Gesamtimpuls einzelner Massenpunkt


Der Gesamtimpuls des Massenpunktsystems ist dann die Summe aus den Gesamtimpulsen der einzelnen Massenpunkte:

Methode

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$\textbf{p}= \sum m_iv_i$      Gesamtimpuls Massenpunktsystem

mit

$\textbf{p} = \sum p_i$


Auch hier wird wieder der Orstvektor $r_S$ des Massenmittelpunktes bzw. Schwerpunktes $S$ des Systems eingeführt (siehe vorherigen Abschnitt):

$r_S = \frac{1}{m} \sum m_i r_i$ 

Umformen der Gleichung:

$m r_S = \sum m_i r_i$

Dabei ist $m = \sum m_i r_i$ die gesamte Masse des Systems, also die Summe aus den Massen der einzelnen Massenpunkte. Einmaliges Ableiten der obigen Gleichung führt zu:

$m \dot{r}_s = \sum m_i \dot{r}_i$

Mit $\dot{r} = v$ ergibt sich dann:

$m v_S = \sum m_i v_i$

Es wird nun $m v_S$ in die obige Gleichung eingesetzt:

Methode

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$\textbf{p} = m v_S$    Gesamtimpuls Massenpunktsystem

mit 

$\textbf{p} = \sum p_i = \sum m_i v_i$

$m = \sum m_i$

Diese Gleichung stellt ebenfalls den Gesamtimpuls des Massenpunktsystems dar. Der Gesamtimpuls kann also entweder nach der obigen Gleichung (Summe der Gesamtimpulse aller Massenpunkte eines Massenpunktsystems) oder mit dieser Gleichung bestimmt werden. Bei der unteren Gleichung wird der Gesamtimpuls bestimmt durch die Gesamtmasse des Systems $m = \sum m_i$ und der Schwerpunktsgeschwindigkeit $v_S$. Dabei ist hier der Schwerpunkt des Massenpunktsystems gemeint.

Impulssatz des Massenpunktsystems

Wird nun diese Gleichung nach der Zeit $t$ abgeleitet, so ergibt sich:

$\frac{d\textbf{p}}{dt} = m \frac{dv_S}{dt}$

Mit $a = \frac{dv}{dt}$ ergibt sich:

$\frac{d\textbf{p}}{dt} = m a_S$

Das Newtonsche Grundgesetz für das Massenpunktsystem ergibt sich zu: $\sum F_i + \sum f_i = \sum m_i a_i = \sum ma_s$. Bei der Summation der inneren Kräfte $\sum f_i$ heben diese sich gegenseitig auf, weshalb: $\sum F_i = \sum m_ia_i = m a_s$. Einsetzen die obige Gleichung ergibt:

Methode

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$\frac{d\textbf{p}}{dt} = m a_S = \sum F_i$

Das bedeutet also, dass die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses $\frac{d\textbf{p}}{dt}$ des Massenpunktsystems gleich der Summe der Resultierenden $\sum F_i$ aller äußeren Kräfte ist.

Umstellen der Gleichung nach:

$d \textbf{p} = \sum F_i \cdot dt$

Die Integration der obigen Gleichung führt dann auf den Impulssatz:

$\int_{p_0} ^p d \textbf{p} = \int_{t_0}^t \sum F_i \cdot dt$

Methode

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$\textbf{p} - \textbf{p_0} = \int_{t_0}^t \sum F_i \cdot dt$   Impulssatz

mit

$\textbf{p} = \sum p_i = \sum m_iv_i$

$\textbf{p_0} = \sum p_{0i} = \sum m_iv_{0i}$

Der Impulssatz besagt also, dass die Integration der Resultierenden aller äußeren Kräfte des Massenpunktsystems zwischen zwei Zeitpunkten gleich der Differenz der Impulse zwischen diesen Zeitpunkten ist. Existieren keine äußeren Kräfte, so ist $\sum F = 0$ und damit die Differenz der Impulse zwischen zwei Zeitpunkten null. Das bedeutet der Gesamtimpuls ist dann konstant:

Methode

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$\textbf{p} = const$.       Impulserhaltungssatz

Anwendungsbeispiel: Impulssatz

Impulssatz Massenpunktsystem Beispiel

Beispiel

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Gegeben sei eine Masse $m = 90 kg$, die sich mit der Geschwindigkeit $v_0 = 50 \frac{m}{s}$ in einem schwerelosen Raum bewegt (Winkel zur Horizontalen: $\alpha = 25°$). Die Masse zerspringt plötzlich in drei gleiche Teile. Die Massen $m_2$ und $m_3$ bewegen sich unter den Winkel $\gamma_2 = 65°$ und $\gamma_3 = 55°$ mit den Geschwindigkeiten $v_2$ und $v_3$ weiter. Die Masse $m_1$ bleibt in Ruhe.  Wie groß sind die Geschwindigkeiten $v_2$ und $v_3$?

Es wirken hier nur innere Kräfte, da keine äußeren Kräfte $F_i$ an die Massen angreifen und auch keine Gewichtskraft vorliegt (schwereloser Raum, keine Gravitation, d.h. $g = 0$). Es exsitieren also nur innere Kräfte $f_i$. Innerhalb des Impulssatzes werden nur die äußeren Kräfte berücksichtigt. 

Impulssatz:

$\textbf{p} - \textbf{p_0} = \int_{t_0}^t \sum F_i \cdot dt $

mit $F_i = 0$:

$\textbf{p} - \textbf{p_0} = 0$

Der Impuls bleibt also konstant:

$\textbf{p} = \textbf{p_0} $

Das bedeutet, dass der Impuls vor dem Zerspringen des Massenpunktes $m$ gleich dem Impuls nach dem Zerspringen ist. Da die Massenpunkte sich in der Ebene bewegen, wird ein $x,y$-Koordinatensystem eingeführt:

Impulssatz Geschwindigkeitskomponenten Massenpunktsystem

Die Geschwindigkeiten werden in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt. Der Impulssatz ist konstant, also der Anfangsimpuls ist gleich der Summe der Endimpulse.

In $x$-Richtung:

$mv_{x0} = m_1 v_{x1} + m_2 v_{x2} + mv_{x3}$

Da sich der Massenpunkt $m_1$ in Ruhe befindet, gilt $v_{x1} = 0$ und damit:

$mv_{x0} = m_2 v_{x2} + mv_{x3}$

Einsetzen der Komponenten:

$m \; v_0 \cos (\alpha) = m_2 v_2 \cos (65°)  + m v_3 \cos (55°)$

Einsetzen der Werte:

(1) $90 kg \cdot 50 \frac{m}{s} \cos (25°) = 30 kg \cdot v_2 \cos (65°) + 30 kg \cdot v_3 \cos (55°)$


In $y$-Richtung:

$mv_{y0} = m_1 v_{y1} + m_2 v_{y2} + mv_{y3}$

Da sich der Massenpunkt $m_1$ in Ruhe befindet, gilt $v_{y1} = 0$ und damit:

$mv_{y0} = m_2 v_{y2} + mv_{y3}$

Einsetzen der Komponenten:

$m \; v_0 \sin (\alpha) = m_2 v_2 \sin (65°)  - m v_3 \sin (55°)$

Das Minuszeichen bei $v_3 \sin (55°)$ resultiert daher, dass die Geschwindigkeitskomponente in negative $y$-Richtung zeigt.

Einsetzen der Werte:

(2) $90 kg \cdot 50 \frac{m}{s} \sin (25°) = 30 kg \cdot v_2 \sin (65°) - 30 kg \cdot v_3 \sin (55°)$

Auflösen nach $v_2$:

(3) $v_2 = (90 kg \cdot 50 \frac{m}{s} \sin (25°)  + 30 kg \cdot v_3 \sin (55°)) \frac{1}{30 kg \sin (65°)}$

Einsetzen in die obige Gleichung (1):

$\scriptsize{90 kg \cdot 50 \frac{m}{s} \cos (25°) = 30 kg \cdot (90 kg \cdot 50 \frac{m}{s} \sin (25°) + 30 kg \cdot v_3 \sin (55°)) \frac{1}{30 kg \sin (65°)} \cos (65°) + 30 kg \cdot v_3 \cos (55°)}$


$\scriptsize{4078,39 Ns = 30 kg \cdot (90 kg \cdot 50 \frac{m}{s} \sin (25°)  + 30 kg \cdot v_3 \sin (55°)) \frac{1}{30 kg \sin (65°)} \cos (65°) + 30 kg \cdot v_3 \cos (55°)}$

$\scriptsize{4078,39 Ns = 30 kg \cdot 90 kg \cdot 50 \frac{m}{s} \sin (25°) \cos(65°) \frac{1}{30 kg \sin (65°)} + 30^2 kg^2 \cdot v_3 \sin (55°) \cos(65°) \frac{1}{30 kg \sin (65°)}+ 30 kg \cdot v_3 \cos (55°)}$

$\scriptsize{4078,39 Ns -  30 kg \cdot 90 kg \cdot 50 \frac{m}{s} \sin (25°) \cos(65°) \frac{1}{30 kg \sin (65°)} = 30^2 kg^2 \cdot v_3 \sin (55°) \cos(65°) \frac{1}{30 kg \sin (65°)}+ 30 kg \cdot v_3 \cos (55°)}$

$\scriptsize{4078,39 Ns - 886,82 Ns = v_3 (30^2 kg^2 \cdot \sin (55°) \cos(65°) \frac{1}{30 kg \sin (65°)} + 30 kg  \cos (55°))}$

$4078,39 Ns - 886,82 Ns = v_3 (28,67 kg)$

Methode

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$v_3 = 111,32 \frac{m}{s}$

Einsetzen in (3):

 $v_2 = (90 kg \cdot 50 \frac{m}{s} \sin (25°)  + 30 kg \cdot 111,32 \frac{m}{s} \sin (55°)) \frac{1}{30 kg \sin (65°)}$

Methode

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$v_2 = 170, 56 \frac{m}{s}$