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Physik

Skalarprodukt

Sind zwei Vektoren $\vec{a} \neq 0$ und $\vec{b} \neq 0$ (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.

Unterschiedliche Winkel, Skalarprodukt
Unterschiedliche Winkel, Skalarprodukt

In der obigen Grafik sind je zwei Vektoren gegeben mit einem eingeschlossenen Winkel $\varphi$. Links ist ein spitzer Winkel veranschaulicht, welcher durch ein positives Skalarprodukt angezeigt wird, der stumpfe Winkel rechts wird durch ein negatives Skalarprodukt gekennzeichnet.

Methode

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Spitzer Winkel: $0° < \varphi < 90°$                positives Skalarprodukt

Stumpfer Winkel: $90° < \varphi < 180°$         negatives Skalarprodukt

Rechter Winkel: $\varphi = 90°$                      Skalarprodukt gleich Null                  


Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar) und kann wie folgt berechnet werden:

Methode

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$ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & \text{für} \; \; \vec{a} = \vec{0 } \; \text{oder} \; \vec{b} = \vec{0} \end{cases}$


Die Zahl $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ergibt sich also folgendermaßen:

Projiziert man den Vektor $\vec{b}$ auf den Vektor $\vec{a}$ , so ergibt sich ein Vektor $\vec{b_{\vec{a}}}$ (siehe Grafik unten). Der neue Vektor $\vec{b_{\vec{a}}}$ besitzt die Länge $|\vec{b}| \cos (\varphi)$. Multipliziert man diese $|\vec{a}|$ (Länge des Vektors $\vec{a}$), so erhält man das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Skalarprodukt Projektion
Projektion

Die Projektion ist natürlich ebenfalls umgekehrt durchführbar und führt zum selben Ergebnis. Der gestrichelte Vektor zeigt an, dass der Vektor $\vec{b}$ auf den Vektor $\vec{a}$ projiziert wird. Der gestrichelte Vektor zeigt dabei in einem 90°-Winkel auf den Vektor $\vec{a}$.

Winkelberechnung

Das Ablesen des Winkels $\varphi$ ist selten möglich. Deswegen kann man das Skalarprodukt  $\vec{a} \cdot \vec{b}$  aus den Koordinaten der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnen und daraus den Winkel $\cos (\varphi)$ ermitteln.

Merke

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Berechnung Skalarprodukt

$\vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Winkelberechnung

$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt und Winkelberechnung

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (1,4)$ und $\vec{b} = (4,3)$. Berechne das Skalarprodukt und den Winkel, welcher durch die beiden Vektoren eingeschlossen wird!

Das Skalarprodukt kann ohne Kenntnis des Winkels wie folgt berechnet werden:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 16 $

Es liegt ein positives Skalarprodukt vor, d.h. es liegt ein spitzer Winkel zwischen den beiden Vektoren vor. Der Winkel liegt also zwischen 0° und 90°.

Die Berechnung des Winkels erfolgt dann mit der folgenden Formel:

$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

$\cos (\varphi) = \frac{1 \cdot 4 + 4 \cdot 3}{\sqrt{1^2 + 4^2} \cdot \sqrt{4^2 + 3^2}}$ 

$\cos (\varphi) = \frac{16}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{25}}$ 

$\cos (\varphi) \approx 0,776$

$\varphi = \cos^{-1}(0,776) = 39,1° $

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt $\varphi = 39,1°$:

Winkelberechnung, Vektoren des Skalarprodukts
Winkelberechnung, Vektoren des Skalarprodukts

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt

Beispiel

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Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (0,1)$ und $\vec{b} = (2,0)$. Bestimme das Skalarprodukt und den Winkel zwischen den Vektoren.

Das Skalarprodukt ergibt sich zu:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 0$

Das Skalarprodukt ist Null, d.h. dass die beiden Vektoren in einem rechten Winkel (90°-Winkel) zueinander stehen.

Auch ohne Berechnung des Skalarproduktes ist erkennbar, dass beide Vektoren in einem rechten Winkel zueinander stehen, weil der Vektor $\vec{a}$ auf der $y$-Achse und der Vektor $\vec{b}$ auf der $x$-Achse liegt.