Merke
Rechengesetze für das Skalarprodukt:
1. Kommutativgesetz: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. $(\alpha \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\alpha \vec{b}) = \alpha(\vec{a} \cdot \vec{b}) \;\;\;\;\;$ (für $\alpha \in \mathbb{R}$)
3. Orthogonalitätstest: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \longleftrightarrow \vec{a}$ orthogonal zu $\vec{b}$
4. Distributivgesetz: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$
5. Betrag eines Vektors: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$
Aus der Definition aus dem vorherigen Kurstext ergeben sich direkt die Punkte 1., 2. und 3.
Das Distributivgesetz ist auch für den Fall, dass $\vec{c} = 0$ ist erfüllt. Für den Fall $\vec{c} \neq 0$ legen wir $\vec{c}$ in Richtung der positiven $x$-Achse. Somit ist dann $\vec{c} = \alpha \vec{e}_1$.
Mit $\vec{a} \ge 0$, mit 2. sowie mit $\vec{a} \cdot \vec{e_1} = |\vec{a}| cos\varphi = a_i$
ergibt sich schließlich:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = \alpha\ a_1$,
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \alpha\ b_1$,
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \alpha\ (a_1+b_1)$.
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