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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Rechengesetze für das Skalarprodukt

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Rechengesetze für das Skalarprodukt

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Rechengesetze für das Skalarprodukt:

1. Kommutativgesetz: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

2. $(\alpha \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\alpha \vec{b}) = \alpha(\vec{a} \cdot \vec{b}) \;\;\;\;\;$ (für $\alpha \in \mathbb{R}$)

3. Orthogonalitätstest: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \longleftrightarrow \vec{a}$ orthogonal zu $\vec{b}$

4. Distributivgesetz: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$


5. Betrag eines Vektors: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$

Aus der Definition aus dem vorherigen Kurstext ergeben sich direkt die Punkte 1., 2. und 3.

Das Distributivgesetz ist auch für den Fall, dass  $\vec{c} = 0$ ist, erfüllt. Für den Fall $\vec{c} \neq 0$ ist es notwendig, dass die positive x-Achse in Richtung $\vec{c}$ gedreht wird. Somit ist dann $\vec{c} = \alpha \vec{e}_1 = 0$ mit der Einschränkung $\vec{a} \ge 0$  und 2. sowie mit

$\vec{a} \cdot \vec{e_1} = |\vec{a}| cos\varphi = a_i$                                             

ergibt sich schließlich:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = \alpha\ a_1$,    

$\vec{b} \cdot \vec{c} = \alpha\ b_1$,  

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =  \alpha\ (a_1+b_1)$.