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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Rechengesetze: Skalarprodukt

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Rechengesetze: Skalarprodukt

Merke

Rechengesetze für das Skalarprodukt:

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$                                       (Kommutativgesetz),

2. $(\alpha \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\alpha \vec{b}) = \alpha(\vec{a} \cdot \vec{b})$         (für $\alpha \in \mathbb{R})$,

3. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$              (Distributivgesetz),

4. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \leftrightarrow \vec{a}$ orthogonal zu $\vec{b}$       (Orthogonalitätstest),

5. $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$.

Aus der Definition auf der vorherigen Seite ergeben sich 1., 2. und 4. direkt. Das Distributivgesetz (unter 3.) ist für den Fall, dass  $\vec{c} = 0$  ist, auch erfüllt.

Für den Fall  $\vec{c} \neq 0$  ist es notwendig, dass die positive x-Achse in Richtung  $\vec{c}$  gedreht wird und somit ist dann $\vec{c} = \alpha \vec{e}_1 = 0$  mit der Einschränkung  $\vec{a} \ge 0$  und 2. sowie mit

$\vec{a} \cdot \vec{e_1} = |\vec{a}| cos\varphi = a_i$                                             

ergibt sich schließlich:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = \alpha\ a_1$,    

$\vec{b} \cdot \vec{c} = \alpha\ b_1$,  

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =  \alpha\ (a_1+b_1)$.