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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Kommutativgesetz

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Kommutativgesetz

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Inhaltsverzeichnis

In der Mengenlehre sind die Vereinigung und der Durchschnitt kommutative Operationen. Für die Mengen $A$ und $B$ gilt somit

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$A \cup B = B \cup A$                  Vereinigung               

$A \cap B = B \cap A$                  Durchschnitt           

Das bedeutet verbal ausgedrückt, dass die Reihenfolge bei der Bildung der Vereinigung bzw. des Durchschnitts von Mengen unerheblich ist. Es resultiert immer dasselbe Ergebnis.

$A \cup B$ stellt die Menge aller Elemente dar, die entweder in $A$ oder in $B$ oder in beiden vorkommen. Entsprechend gilt auch $B \cup A$. Hierbei handelt es sich um alle Elemente aus $A$ und $B$.


$A \cap B$ bedeutet die Menge aller Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen. Das bedeutet, dass auch $B \cap A$ gilt. Hierbei handelt es sich um die Schnittmenge von $A$ und $B$. 

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$. 

Der Durchschnitt der Menge $A \cap B$ ist dabei gleich $B \cap A$. Es handelt sich also um eine kommutative Operation:

$A \cap B = \{3,4 \}, B \cap A = \{3,4 \}$.

Die Vereinigung der Mengen $A \cup B$ ist gleich $B \cup A$: 

$A \cup B = \{1,2, 3, 4, 5, 6 \},  B \cup A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$.

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