Zulässige Spannung, Werkstoffverhalten und Hooke'sches Gesetz

Die Grundlage zur Beurteilung der Tragfähigkeit eines Bauteils ist die Kenntnis über das Werkstoffverhalten bei Belastung.

Für die Auslegung von Metallteilen ist das Spannungs-Dehnungs-Diagramm von besonderer Bedeutung. Dieses Diagramm zeigt, wie sich ein zylindrischer Stab bei statischer Kurzzeitbelastung im Zugversuch mit steigender Dehnung bis zum Bruch verhält. Horizontal wird die relative Dehnung $\epsilon = \dfrac{l}{l_0}$ abgetragen, vertikal die Spannung $\sigma$ im belasteten Querschnitt. Für Stähle mit ausgeprägter Streckgrenze sieht es qualitativ so aus:

Erläuterung des Zugversuchs zum Verständnis des Spannungs-Dehnungs-Diagramms

Für den Zugversuch wird der Zugstab an beiden Enden eingespannt. Die Einspannungen entfernen sich während des Versuchs voneinander (meist wird eine von beiden verfahren), wodurch der Zugstab gedehnt wird. Dabei wird kontinuierlich die vom Zugstab aufgebrachte Gegenkraft ermittelt.

Der Ablauf des Zugversuchs ist im Spannungs-Dehnungs-Diagramm von links nach rechts abzulesen:

• Der unbelastete Stab ist nicht gedehnt im Ursprung des Koordinatensystems.
  Mit steigender Dehnung steigt die Spannung zunächst linear an bis zum Erreichen einer oberen Streckgrenze $R_{eH}$, die meist als Spitze ausgeprägt ist.
  Dieser Spitzenwert wird auch als Fließfestigkeit bzw. Streckgrenze eines Werkstoffs bezeichnet.
  In diesem Bereich sind Spannung und Dehnung gemäß dem Hooke'schen Gesetz proportional, man nennt ihn "Hookesche Gerade", "Proportionalbereich" oder "linear-elastischer Bereich".
  
  Bei der Auslegung von Maschinenelementen möchten wir normalerweise sicher in diesem Bereich bleiben, damit das Teil bei Entlastung wieder zu seiner Ursprungsform zurückkehrt, die Verformung also reversibel ist.
  
  
• Bei Überschreiten der Streckgrenze fängt das Kristallgefüge des Werkstoffes an zu fließen, gibt also nach, wodurch bei weiterer Dehnung die Spannung im Stab unter der oberen Streckgrenze bleibt.
  Die Spannung bleibt dann bei weiterer Dehnung des Stabes eine Weile etwa konstant auf dem Wert der unteren Streckgrenze $R_{eL}$.

  In diesem Bereich, der Fließgebiet genannt wird, wird der Zugstab plastisch verformt, kehrt also nach Entlastung nicht in seine Ursprungslänge zurück. Nur der elastische Teil der Dehnung würde bei Entlastung entsprechend der Hookeschen Geraden wieder zurückgehen.

• Danach setzt bei weiterer Dehnung die Kaltverfestigung ein, bei der sich das fließende Kristallgitter an Unregelmäßigkeiten des Gitters "verhakt" und dadurch widerstandsfähiger wird. Die Spannung steigt wieder an, während die Dehnung weiter geht, aber nicht mehr linear. Die plastische Verformung wird größer.
  
  
• Wird nach weiterer Dehnung die maximale Spannung erreicht, beginnt der bisher konstante Querschnitt sich einzuschnüren. Durch die sinkende Querschnittsfläche sinkt auch die Spannung des Zugstabs, er nähert sich mit weiterer Dehnung immer schneller dem Bruch.

Bei Werkstoffen mit kontinuierlichem Fließbeginn (also ohne ausgeprägte Streckgrenze) gibt es den Fließbereich nicht, die Kurve geht aus dem linearen Bereich kontinuierlich in den gekrümmten über. Statt $R_e$ wird dann mit der Fließgrenze die Spannung $R_{p0,2}$ angegeben, bei der der Werkstoff 0,2 % plastische Verformung erlitten hat.

Die für die Konstruktion wichtigsten Angaben ($R_e$, $R_{p0,2}$, $R_m$) sind für die meisten gängigen Werkstoffe in Tabellenbüchern oder Herstellerdatenblättern angegeben.

Im Bereich der linear-elastischen Verformung gilt das Hooke'sche Gesetz. Das besagt, dass die Spannung $\sigma$ im (konstanten) Querschnitt eines um die Längendifferenz ${\Delta}l$ gedehnten Bauteils bzw. Zugstabs mit der Ursprungslänge $l_0$ proportional zur relativen Dehnung $\epsilon$ ist, und dass das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung eine Materialeigenschaft ist. Diese Eigenschaft wird Elastizitätsmodul genannt, kurz E-Modul, Formelzeichen "E".

Das Hooke'sche Gesetz ist die Grundlage der meisten Festigkeitsberechnungen und lautet:

$E = \dfrac{\sigma}{\epsilon};\epsilon = \dfrac{{\Delta}l}{l_0}$

Der E-Modul eines Materials kann also einfach experimentell ermittelt werden, indem ein Zugstab mit einem bekannten Querschnitt und bekannter Länge einer definierten Zugkraft ausgesetzt und die daraus resultierende Längenänderung gemessen wird.

Das ist normalerweise natürlich nicht nötig, weil für alle gängigen Werkstoffe der E-Modul bereits bekannt ist.
Einige häufig benötigte Beispiele: