Formelsammlung

Hier klicken zum AusklappenSpannungen und Dehnungen

Spannung: $ \sigma = \frac{F}{A} = \frac{Kraft}{Fläche} \le \sigma_{zul} $ in $ [\frac{N}{mm^2}] $

Dehnung: $ \epsilon = \frac{\Delta l}{L_0} $

Hier klicken zum AusklappenHookesches Gesetz

$ \sigma = E \cdot \epsilon \; \; \; \; \; \; \; $

Hier klicken zum AusklappenElastizitätsmodul

$ E = \frac{\sigma}{\epsilon} \; \; \; \; \; \; \; $

mit $ \sigma = \frac{F}{A} $   und   $ \epsilon = \frac{\Delta l}{L_0} $

Hier klicken zum AusklappenFlächenpressung

$ p = \frac{F}{A_P} = \frac{Kraft}{Pressfläche} \le p_{zul} $

Hier klicken zum AusklappenSpannung bei reiner Biegung und Querkraftbiegung

Spannung: $\sigma_x(z) = \frac{M_b}{I_y} \cdot z $

maximale Spannung: $\sigma_{max} = \frac{M_b}{I_y} \cdot z_1 $

minimale Spannung: $\sigma_{min} = \frac{M_b}{I_y} \cdot z_2 $

Hier klicken zum AusklappenWiderstandsmoment

$W_b = \frac{I_y}{z_{max}}$

Hier klicken zum AusklappenFlächenträgheitsmoment 2. Ordnung

$ I_y = \int_A z^2 dA = \int_a \int z^2 dy dz $

Hier klicken zum AusklappenSchubkraft bei Biegung

Schubspannung Vierkantprofil: $\tau_{s max} = \frac{3}{2} \cdot \frac{Q(x)}{b \cdot h} $

Schubspannung Rundprofil : $\tau_{s max} = \frac{4}{3} \cdot \frac{Q(x)}{\pi \, \cdot \, r^2} $

Schubspannung - T-Profil : $\tau_{s max} = \frac{Q(x)}{t \, \cdot \, h_m} $

Scherflächen - Schubspannung: $ A = 2 \cdot \frac{\pi \, \cdot \, d^2}{4} $

Hier klicken zum AusklappenSpannungstensor

Die allgemeine Form des dreiachsigen Spannungstensors ist: $ \gamma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}  \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} $

Einachsiger Spannungstensor: $ \gamma = \begin{bmatrix} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

Zweiachsiger Spannungstensor: $ \gamma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & 0 \\ \tau_{yx} & \sigma_y & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $ bzw.

$ \gamma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{bmatrix} $

Hier klicken zum AusklappenVergleichsspannung - Zugversuch

$\Longrightarrow $ Zugversuch = Vergleichszustand = einachsig!
Beim Zugversuch ist die Spannung, mit der die Spannungen im Bauteil verglichen werden formal beschrieben durch:

$\sigma_x = \sigma_1 = \sigma_v \Longrightarrow $ Hauptspannung = Vergleichsspannung (x = Belastungsrichtung)

dies bedeutet gleichzeitig:

$\sigma_y = \sigma_z = \tau_{xy} = \tau_{yx} = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0 $

Hier klicken zum AusklappenWechselbeanspruchung mit Wechselfestigkeit

$\Longrightarrow $ $\sigma_m = 0 $ und $\sigma_w = \pm \sigma_A $

Hier klicken zum AusklappenSchwellbeanspruchung mit Schwellfestigkeit

$\Longrightarrow $ $\sigma_m = \sigma_a $ und $\sigma_{schwell} = 2 \cdot \sigma_A $

Hier klicken zum AusklappenKerbfaktor 

 $\alpha_k = \frac{ \sigma_{max}}{\sigma_{nenn}} = \frac{\tau_{max}}{\tau_{nenn}} $

$\alpha_{k Zug} > \alpha_{k Biegung} > \alpha_{k Torsion} $

Hier klicken zum AusklappenKerbwirkung - Spröder Werkstoff

$\sigma_{max} \le \sigma_{grenz} $

Hier klicken zum AusklappenKerbwirkungszahl

$\beta_k = \frac{\sigma_{D glatte Probe}}{\sigma_{D gekerbte Probe}}$

$\beta_{k Zug} > \beta_{k Biegung} > \beta_{k Torsion} $

Hier klicken zum AusklappenKerbwirkungszahl - spröder Werkstoff:

$\beta_k \rightarrow \alpha_k $

Hier klicken zum AusklappenSchweißnaht - zulässige Spannung

$\sigma_{G Schweißnaht} > \sigma_{V Schweißnaht} $

$\sigma_{G Schweißnaht} \le \sigma_{V Schweißnaht} $

Hier klicken zum AusklappenSchweißnahtdicke

$ a = s_{min} $  Mindestdicke = $ s_{min} $

Hier klicken zum AusklappenAllg. Schweißnahtdicke

$ 3 \, mm \le a \le s_{min} $ 

wirksame Nahtlänge: $ l = b - 2 \cdot a $

wirksame Nahtlänge (mit Auslaufblechen): $\ l = b \not{-} \not{2} \not{a} $

Hier klicken zum AusklappenBerechnung der Spannungen einer Schweißverbindung

Gesamtlänge: $\ l = b + 2 (f - a) $

wirksame Nahtlänge: $\ l = \not{b} + 2 ( f - a) $

Zylinder
Gesamtnahtlänge: $\ l = \pi \cdot d $
Wirksame Nahtlänge: $\ l = \frac{\pi \, \cdot \, d}{2} $

Die wirksame Nahtlänge entspricht also der halben Gesamtnahtlänge.

Würfel

Gesamtnahtlänge: $\ l = 4 \cdot b $
Wirksame Nahtlänge: $\ l = 2 \cdot b $

Die wirksame Nahtlänge entspricht also auch hier der halben Gesamtnahtlänge.

Hier klicken zum AusklappenVergleichspannung - Schweißnaht

$\sigma_v = \sqrt{\sigma^2 + 3 \, \tau^2} \le \sigma_{zul} $

Hier klicken zum AusklappenStatische Beanspruchungen - Schweißnaht

 $\sigma_v \le \sigma_{zul} = \frac{R_{eH}}{\vartheta} $

Hier klicken zum AusklappenÜberlappungsverhältnis - Klebeverbindung

$ UV = \frac{l_ü}{s} $

Hier klicken zum AusklappenMittlere Scherspannung

$\tau = \frac{F}{A} = \frac{4 \, \cdot \, F}{\pi \, \cdot \, d^2} $

Hier klicken zum AusklappenUmfangskraft

$ F_u = \frac{2 \, \cdot \, T}{D} $ mit $ T $ = Drehmoment

Hier klicken zum AusklappenScherspannung

$ \tau = \frac{F_u}{2 \, \cdot \, A} = \frac{T}{A \, \cdot \, D } = \frac{4 \, T}{\pi \, \cdot \, d^2 \, \cdot \, D} $

Hier klicken zum AusklappenZulässige Scherspannung

$\tau_{zul} =\frac{\tau_F}{\nu} \, \, \, $ mit $ \, \, \, \nu = 2 $ bis $ 4 $

Hier klicken zum AusklappenBiegespannung

$\sigma_b = \frac{M_b}{W_b} = \frac{F \, \cdot \, l_F \, \cdot \, 32}{\pi \, \cdot \, d^3} $

Hier klicken zum AusklappenVergleichsspannung

$\sigma_v = \sqrt{\sigma_b^2 + 3 \cdot \tau^2} \, \, \, $ mit $ \, \, \, \nu = 2 $ bis $ 4 $

Hier klicken zum AusklappenMaximale Biegespannung

$\sigma_{max} = \frac{M_b}{W_b} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot (\frac{a}{2} + \frac{b}{4} \cdot \frac{1}{W_b}) $

Hier klicken zum AusklappenBiegespannung

$\sigma_{bB} = \frac{M_b}{W_b} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{W_b} $

Hier klicken zum AusklappenQuerkraft

$ P_d = \frac{F}{s \, \cdot \, d} $

Hier klicken zum AusklappenMomentengleichung

$ P_b \cdot \frac{s}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot d \cdot \frac{s}{2} = F \cdot (l_F + \frac{s}{2}) $

Hier klicken zum AusklappenBiegung

$ P_b = 6 \cdot F \cdot \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s^2 \, \cdot \, d} $

Hier klicken zum AusklappenMaximale Flächenpressung

$ P_{max} = P_d + P_b = \frac{F}{s \, \cdot \, d} (1 + 6 \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s}) $

Hier klicken zum AusklappenAbscheren

$ \tau = \frac{F}{A} = \frac{F_u}{b \, \cdot \, l_t} \le \tau_{zul} $

Hier klicken zum AusklappenFlächenpressung

$ p = \frac{F}{(h - t_1) \, \cdot \, l_t } \le p_{zul} $

1. Statische Belastung, Nabenwerkstoff:
$ St \rightarrow p_{zul} = 100 - 130 \frac{N}{mm^2} $ 
$ GG $ (Grauguss) $ \rightarrow p_{zul} = 75 \frac{N}{mm^2} $ 

2. Einseitige dynamische Belastung, Nabenwerkstoff:
$ St \rightarrow p_{zul} = 90 - 110 \frac{N}{mm^2} $ 
$ GG \rightarrow p_{zul} = 55 - 65 \frac{N}{mm^2} $ 

3. Wechselnde dynamische Belastung, Nabenwerkstoff:
$ St \rightarrow p_{zul} = 45 - 65 \frac{N}{mm^2} $ 
$ GG \rightarrow p_{zul} = 20 - 40 \frac{N}{mm^2} $ 

Hier klicken zum AusklappenFlächenpressung

$ p = \frac{2 \, \cdot \, T}{d_m \, \cdot \, z \, \cdot \, h_w \, \cdot \, b \, \cdot \, \varphi} $

Hier klicken zum AusklappenZulässige Flächenpressung unter Last

$\ p_{zul} = 5, ...,15 \frac{N}{mm^2} $

Hier klicken zum AusklappenCoulomb'sches Gesetz

$ F_R = \mu \cdot F_N $

Hier klicken zum AusklappenMaximale Haftreibungskraft

$ F_{R0max} = \mu_0 \cdot F_N $

Hier klicken zum AusklappenSpezifische Schmierfilmdicke

$ \lambda =\frac{h_{min}}{R_a} $

$\ h_{min} $ = minimale Schmierfilmdicke im Kontaktbereich
$\ R_a = 0,5 \cdot ( R_{a1} + R_{a2}) \rightarrow $ gemittelte Oberflächenrauheit der Kontaktflächen

Hier klicken zum AusklappenSchubspannung - Schmieröl (Scherung zweier Bauteile)

$\tau = \eta \cdot \frac{d v}{d h } = \eta \cdot S $ (für laminare Strömung)

$ \eta $ = dynamische Viskosität
$ d v $ = Geschwindigkeitsänderung
$ h $ = Höhe
$ S $ = Schergefälle

Hier klicken zum AusklappenEinheit dynamische Viskosität

$\eta = 1 \, mPa \cdot s \longrightarrow \eta = 10^{-3} \, [\frac{Ns}{m^2}] = 10^{-2} \, [P] \Longrightarrow $ Poise

Hier klicken zum AusklappenKinematische Viskosität

$ \nu = \frac{\eta}{\varrho} $


Einheit kinematische Viskosität: $\nu = 1 \, [\frac{mm^2}{s}] \rightarrow \nu = 1 \, [cST] \Longrightarrow $ Centistoke

Hier klicken zum AusklappenViskosität bei Druck 

$\eta_p = \eta_0 \cdot e^{\alpha \, \cdot \, p} $

$\eta_p $ = Viskosität bei Druck p
$\eta_0 $ = Viskosität bei Atmosphärendruck
$\ p $ = Druck
$\alpha $ = Druckviskositätskoeffizient

Hier klicken zum AusklappenÜbermaß

$ S = p \cdot r_p \cdot {\frac{1}{E_N} \cdot [\frac{1 + q_n}{1 - q_n} + \nu_N] + \frac{1}{E_W} \cdot [\frac{1 + q_W}{1 - q_W} + \nu_W]} + \Delta S $

$ S $ = Übermäß $ \rightarrow $ Unterscheidung in $ S_{erf} $ (erforderliches Übermaß) und $ S_{zul} $ (zulässiges Übermaß), dabei muss die Gleichung entsprechend angepasst werden mit $ p_{erf} $ (erforderlicher Druck) und $ p_{zul} $ (zulässiger Druck)
$ p $ = Passfugendruck
$ r_p $ = Passfugenradius
$ E_N $ = Elastizitätsmodul der Nabe
$ E_W $ = Elastizitätsmodul der Welle
$ q_N = (\frac{r_{iN}}{r_{aN}})^2 $ = Quotient aus Innenradius zu Außenradius der Nabe zum Quadrat
$ q_W = (\frac{r_{iW}}{r_{aW}})^2 $ = Quotient aus Innenradius zu Außenradius der Welle zum Quadrat
$ \nu_N $ = Querkontraktionszahl der Nabe
$ \nu_W $ = Querkontraktionszahl der Welle
$ \Delta S $ = Übermaßverlust durch Glättung

Hier klicken zum AusklappenÜbermaßverlust

$ \Delta S \approx 0,4 (R_{z,Welle} + R_{z,Nabe} )$

$ R_z $ = gemittelte Rautiefe von Welle und Nabe von $ \approx 2 - 8 \, \mu m $

Hier klicken zum AusklappenAusfall einer Pressverbindung

Rutschen:
$ P_{min} = f (T, F_{axial}, \text{Geometrie}, \mu) \rightarrow S_{min} \, \, \, $ Mindestübermaß

Platzen:
$ P_{max} = f (S, \text{Geometrie}, R_{eH}) \rightarrow S_{max} \, \, \, $ Maximalübermaß

Hier klicken zum AusklappenPassfugendruck

maximales Torsionsmoment: $ T_{max} = \mu_H \cdot N \cdot r_p $

Normalkraft: $ N = p \cdot 2 \, \pi \cdot r \cdot l $

maximales Torsionsmoment (Passfugendruck): $ T_{max} = \mu_H \cdot N \cdot r_p = \mu_H \cdot ( p \cdot 2 \, \pi \cdot r \cdot l) \cdot r_p $

maximales Torsionsmoment (Schrumpfmaß): $\ T_{max} = \mu_H \cdot (2 \, \pi \cdot r_p \cdot l) \cdot S \cdot \frac{1}{ \frac{1}{E_N} \cdot [ \frac{1 + q_n}{1 - q_n} + \nu_N] + \frac{1}{E_W} \cdot [ \frac{1 + q_W}{1 - q_W} + \nu_W]} $

Hier klicken zum Ausklappen Resultierende

$ F_{res} = \sqrt{F_u^2 + F_{ax}^2} $

Hier klicken zum AusklappenUmfangskraft

$ F_u = \frac{T}{r_p} $

Hier klicken zum AusklappenMaximales Torsionsmoment (kombinierte Belastung)

$ T_{max} = F_{res} \cdot r_p = r_p \cdot \sqrt{(\frac{T}{r_p})^2 + F_{ax}^2} $

Hier klicken zum AusklappenDrehmoment

$ T = F_R \cdot 2 \cdot \frac{d}{2}$

Hier klicken zum AusklappenReibkraft

$ F_R = \mu_H \cdot F_N $  

Hier klicken zum AusklappenNormalkraft

$ F_N = 2 \cdot F_S \, \, \, $ (bei zwei Schrauben)

Normalkraft (mehrere Schrauben i): $ F_N = i \cdot F_S $

Hier klicken zum AusklappenResultierendes Drehmoment

$ T = F_S \cdot i \cdot \mu_H \cdot d $