Inhaltsverzeichnis
- Berechnungsgrundlagen
- Beanspruchungsfaelle-und-werkstoffkennwerte
- Kerbwirkung
- Verbindungen und Verbindungselemente
- Bolzenverbindung
- Bolzen mit Feder am Kopf
- Festigkeitsberechnung einer Passfederverbindung
- Profilwellenverbindung
- Reibschlüssige Verbindung
- Pressverbindung
- Kombinierte Belastung - Welle-Nabe-Verbindung
- Kräfte einer Klemmverbindung
Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung für deine Klausur Maschinenelemente 1.
Berechnungsgrundlagen
Methode
Spannung: $ \sigma = \frac{F}{A} = \frac{Kraft}{Fläche} \le \sigma_{zul} $ in $ [\frac{N}{mm^2}] $
Dehnung: $ \epsilon = \frac{\Delta l}{L_0} $
Methode
$ \sigma = E \cdot \epsilon \; \; \; \; \; \; \; $
Methode
$ E = \frac{\sigma}{\epsilon} \; \; \; \; \; \; \; $
mit $ \sigma = \frac{F}{A} $ und $ \epsilon = \frac{\Delta l}{L_0} $
Methode
$ p = \frac{F}{A_P} = \frac{Kraft}{Pressfläche} \le p_{zul} $
Methode
Spannung: $\sigma_x(z) = \frac{M_b}{I_y} \cdot z $
maximale Spannung: $\sigma_{max} = \frac{M_b}{I_y} \cdot z_1 $
minimale Spannung: $\sigma_{min} = \frac{M_b}{I_y} \cdot z_2 $
Methode
$W_b = \frac{I_y}{z_{max}}$
Methode
$ I_y = \int_A z^2 dA = \int_a \int z^2 dy dz $
Methode
Schubspannung Vierkantprofil: $\tau_{s max} = \frac{3}{2} \cdot \frac{Q(x)}{b \cdot h} $
Schubspannung Rundprofil : $\tau_{s max} = \frac{4}{3} \cdot \frac{Q(x)}{\pi \, \cdot \, r^2} $
Schubspannung - T-Profil : $\tau_{s max} = \frac{Q(x)}{t \, \cdot \, h_m} $
Scherflächen - Schubspannung: $ A = 2 \cdot \frac{\pi \, \cdot \, d^2}{4} $
Methode
Die allgemeine Form des dreiachsigen Spannungstensors ist: $ \gamma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} $
Einachsiger Spannungstensor: $ \gamma = \begin{bmatrix} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $
Zweiachsiger Spannungstensor: $ \gamma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & 0 \\ \tau_{yx} & \sigma_y & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $ bzw.
$ \gamma = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{bmatrix} $
Methode
$\Longrightarrow $ Zugversuch = Vergleichszustand = einachsig!
Beim Zugversuch ist die Spannung, mit der die Spannungen im Bauteil verglichen werden formal beschrieben durch:
$\sigma_x = \sigma_1 = \sigma_v \Longrightarrow $ Hauptspannung = Vergleichsspannung (x = Belastungsrichtung)
dies bedeutet gleichzeitig:
$\sigma_y = \sigma_z = \tau_{xy} = \tau_{yx} = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0 $
Beanspruchungsfaelle-und-werkstoffkennwerte
Methode
$\Longrightarrow $ $\sigma_m = 0 $ und $\sigma_w = \pm \sigma_A $
Methode
$\Longrightarrow $ $\sigma_m = \sigma_a $ und $\sigma_{schwell} = 2 \cdot \sigma_A $
Kerbwirkung
Methode
$\alpha_k = \frac{ \sigma_{max}}{\sigma_{nenn}} = \frac{\tau_{max}}{\tau_{nenn}} $
$\alpha_{k Zug} > \alpha_{k Biegung} > \alpha_{k Torsion} $
Methode
$\sigma_{max} \le \sigma_{grenz} $
Methode
$\beta_k = \frac{\sigma_{D glatte Probe}}{\sigma_{D gekerbte Probe}}$
$\beta_{k Zug} > \beta_{k Biegung} > \beta_{k Torsion} $
Methode
$\beta_k \rightarrow \alpha_k $
Verbindungen und Verbindungselemente
Methode
$\sigma_{G Schweißnaht} > \sigma_{V Schweißnaht} $
$\sigma_{G Schweißnaht} \le \sigma_{V Schweißnaht} $
Methode
$ a = s_{min} $ Mindestdicke = $ s_{min} $
Methode
$ 3 \, mm \le a \le s_{min} $
wirksame Nahtlänge: $ l = b - 2 \cdot a $
wirksame Nahtlänge (mit Auslaufblechen): $\ l = b \not{-} \not{2} \not{a} $
Methode
Gesamtlänge: $\ l = b + 2 (f - a) $
wirksame Nahtlänge: $\ l = \not{b} + 2 ( f - a) $
Zylinder
Gesamtnahtlänge: $\ l = \pi \cdot d $
Wirksame Nahtlänge: $\ l = \frac{\pi \, \cdot \, d}{2} $
Die wirksame Nahtlänge entspricht also der halben Gesamtnahtlänge.
Würfel
Gesamtnahtlänge: $\ l = 4 \cdot b $
Wirksame Nahtlänge: $\ l = 2 \cdot b $
Die wirksame Nahtlänge entspricht also auch hier der halben Gesamtnahtlänge.
Methode
$\sigma_v = \sqrt{\sigma^2 + 3 \, \tau^2} \le \sigma_{zul} $
Methode
$\sigma_v \le \sigma_{zul} = \frac{R_{eH}}{\vartheta} $
Methode
$ UV = \frac{l_ü}{s} $
Bolzenverbindung
Methode
$\tau = \frac{F}{A} = \frac{4 \, \cdot \, F}{\pi \, \cdot \, d^2} $
Methode
$ F_u = \frac{2 \, \cdot \, T}{D} $ mit $ T $ = Drehmoment
Methode
$ \tau = \frac{F_u}{2 \, \cdot \, A} = \frac{T}{A \, \cdot \, D } = \frac{4 \, T}{\pi \, \cdot \, d^2 \, \cdot \, D} $
Methode
$\tau_{zul} =\frac{\tau_F}{\nu} \, \, \, $ mit $ \, \, \, \nu = 2 $ bis $ 4 $
Methode
$\sigma_b = \frac{M_b}{W_b} = \frac{F \, \cdot \, l_F \, \cdot \, 32}{\pi \, \cdot \, d^3} $
Methode
$\sigma_v = \sqrt{\sigma_b^2 + 3 \cdot \tau^2} \, \, \, $ mit $ \, \, \, \nu = 2 $ bis $ 4 $
Methode
$\sigma_{max} = \frac{M_b}{W_b} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot (\frac{a}{2} + \frac{b}{4} \cdot \frac{1}{W_b}) $
Methode
$\sigma_{bB} = \frac{M_b}{W_b} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{W_b} $
Bolzen mit Feder am Kopf
Methode
$ P_d = \frac{F}{s \, \cdot \, d} $
Methode
$ P_b \cdot \frac{s}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot d \cdot \frac{s}{2} = F \cdot (l_F + \frac{s}{2}) $
Methode
$ P_b = 6 \cdot F \cdot \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s^2 \, \cdot \, d} $
Methode
$ P_{max} = P_d + P_b = \frac{F}{s \, \cdot \, d} (1 + 6 \frac{l_F + \frac{s}{2}}{s}) $
Festigkeitsberechnung einer Passfederverbindung
Methode
$ \tau = \frac{F}{A} = \frac{F_u}{b \, \cdot \, l_t} \le \tau_{zul} $
Methode
$ p = \frac{F}{(h - t_1) \, \cdot \, l_t } \le p_{zul} $
1. Statische Belastung, Nabenwerkstoff:
$ St \rightarrow p_{zul} = 100 - 130 \frac{N}{mm^2} $
$ GG $ (Grauguss) $ \rightarrow p_{zul} = 75 \frac{N}{mm^2} $
2. Einseitige dynamische Belastung, Nabenwerkstoff:
$ St \rightarrow p_{zul} = 90 - 110 \frac{N}{mm^2} $
$ GG \rightarrow p_{zul} = 55 - 65 \frac{N}{mm^2} $
3. Wechselnde dynamische Belastung, Nabenwerkstoff:
$ St \rightarrow p_{zul} = 45 - 65 \frac{N}{mm^2} $
$ GG \rightarrow p_{zul} = 20 - 40 \frac{N}{mm^2} $
Profilwellenverbindung
Methode
$ p = \frac{2 \, \cdot \, T}{d_m \, \cdot \, z \, \cdot \, h_w \, \cdot \, b \, \cdot \, \varphi} $
Methode
$\ p_{zul} = 5, ...,15 \frac{N}{mm^2} $
Reibschlüssige Verbindung
Methode
$ F_R = \mu \cdot F_N $
Methode
$ F_{R0max} = \mu_0 \cdot F_N $
Methode
$ \lambda =\frac{h_{min}}{R_a} $
$\ h_{min} $ = minimale Schmierfilmdicke im Kontaktbereich
$\ R_a = 0,5 \cdot ( R_{a1} + R_{a2}) \rightarrow $ gemittelte Oberflächenrauheit der Kontaktflächen
Methode
$\tau = \eta \cdot \frac{d v}{d h } = \eta \cdot S $ (für laminare Strömung)
$ \eta $ = dynamische Viskosität
$ d v $ = Geschwindigkeitsänderung
$ h $ = Höhe
$ S $ = Schergefälle
Methode
$\eta = 1 \, mPa \cdot s \longrightarrow \eta = 10^{-3} \, [\frac{Ns}{m^2}] = 10^{-2} \, [P] \Longrightarrow $ Poise
Methode
$ \nu = \frac{\eta}{\varrho} $
Einheit kinematische Viskosität: $\nu = 1 \, [\frac{mm^2}{s}] \rightarrow \nu = 1 \, [cST] \Longrightarrow $ Centistoke
Methode
$\eta_p = \eta_0 \cdot e^{\alpha \, \cdot \, p} $
$\eta_p $ = Viskosität bei Druck p
$\eta_0 $ = Viskosität bei Atmosphärendruck
$\ p $ = Druck
$\alpha $ = Druckviskositätskoeffizient
Pressverbindung
Methode
$ S = p \cdot r_p \cdot {\frac{1}{E_N} \cdot [\frac{1 + q_n}{1 - q_n} + \nu_N] + \frac{1}{E_W} \cdot [\frac{1 + q_W}{1 - q_W} + \nu_W]} + \Delta S $
$ S $ = Übermäß $ \rightarrow $ Unterscheidung in $ S_{erf} $ (erforderliches Übermaß) und $ S_{zul} $ (zulässiges Übermaß), dabei muss die Gleichung entsprechend angepasst werden mit $ p_{erf} $ (erforderlicher Druck) und $ p_{zul} $ (zulässiger Druck)
$ p $ = Passfugendruck
$ r_p $ = Passfugenradius
$ E_N $ = Elastizitätsmodul der Nabe
$ E_W $ = Elastizitätsmodul der Welle
$ q_N = (\frac{r_{iN}}{r_{aN}})^2 $ = Quotient aus Innenradius zu Außenradius der Nabe zum Quadrat
$ q_W = (\frac{r_{iW}}{r_{aW}})^2 $ = Quotient aus Innenradius zu Außenradius der Welle zum Quadrat
$ \nu_N $ = Querkontraktionszahl der Nabe
$ \nu_W $ = Querkontraktionszahl der Welle
$ \Delta S $ = Übermaßverlust durch Glättung
Methode
$ \Delta S \approx 0,4 (R_{z,Welle} + R_{z,Nabe} )$
$ R_z $ = gemittelte Rautiefe von Welle und Nabe von $ \approx 2 - 8 \, \mu m $
Methode
Rutschen:
$ P_{min} = f (T, F_{axial}, \text{Geometrie}, \mu) \rightarrow S_{min} \, \, \, $ Mindestübermaß
Platzen:
$ P_{max} = f (S, \text{Geometrie}, R_{eH}) \rightarrow S_{max} \, \, \, $ Maximalübermaß
Methode
maximales Torsionsmoment: $ T_{max} = \mu_H \cdot N \cdot r_p $
Normalkraft: $ N = p \cdot 2 \, \pi \cdot r \cdot l $
maximales Torsionsmoment (Passfugendruck): $ T_{max} = \mu_H \cdot N \cdot r_p = \mu_H \cdot ( p \cdot 2 \, \pi \cdot r \cdot l) \cdot r_p $
maximales Torsionsmoment (Schrumpfmaß): $\ T_{max} = \mu_H \cdot (2 \, \pi \cdot r_p \cdot l) \cdot S \cdot \frac{1}{ \frac{1}{E_N} \cdot [ \frac{1 + q_n}{1 - q_n} + \nu_N] + \frac{1}{E_W} \cdot [ \frac{1 + q_W}{1 - q_W} + \nu_W]} $
Kombinierte Belastung - Welle-Nabe-Verbindung
Methode
$ F_{res} = \sqrt{F_u^2 + F_{ax}^2} $
Methode
$ F_u = \frac{T}{r_p} $
Methode
$ T_{max} = F_{res} \cdot r_p = r_p \cdot \sqrt{(\frac{T}{r_p})^2 + F_{ax}^2} $
Kräfte einer Klemmverbindung
Methode
$ T = F_R \cdot 2 \cdot \frac{d}{2}$
Methode
$ F_R = \mu_H \cdot F_N $
Methode
$ F_N = 2 \cdot F_S \, \, \, $ (bei zwei Schrauben)
Normalkraft (mehrere Schrauben i): $ F_N = i \cdot F_S $
Methode
$ T = F_S \cdot i \cdot \mu_H \cdot d $
Hinweis
Hier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Maschinenelemente 1.
Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.
Jan
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Formelsammlung
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Formelsammlung aus unserem Online-Kurs Strömungslehre interessant.
-
Rückblick: Maschinenelemente 1
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Rückblick: Maschinenelemente 1 (Schraubenverbindungen) aus unserem Online-Kurs Maschinenelemente 2 interessant.