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Strömungslehre

Formelsammlung

Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung mit allen Formeln aus dem Kurs Strömungslehre für deine Klausur. 

Grundlagen der Strömungslehre

Methode

Hier klicken zum AusklappenDichte:

$\rho = \frac{m}{V}$                                 
$m$ Masse
$V$ Volumen
$\frac{kg}{m^3}$  Einheit

Methode

Hier klicken zum AusklappenKompressibilität

$\kappa = - \frac{1}{V} \frac{dV}{dp}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenViskosität

Kraft: $F = \eta A \frac{\triangle v}{\triangle y}$
mit
$\eta$   Dynamische Viskosität 
$A$  Querschnittsfläche
$\triangle v$  Geschwindigkeitsunterschied
$\triangle y$   Abstand zwischen den Platten

Schubspannungen: $\tau = \frac{F}{A}$

Newtonsches Zähigkeitsgesetz: $\tau = \eta \frac{\triangle v}{\triangle y}$ 

Kinematische Viskosität: $\nu = \frac{\eta}{\rho}$  

Einheit der dynamischen Viskosität $\eta = \frac{kg}{m \cdot s} = \frac{Ns}{m^2}$ 

Hydrostatik

Methode

Hier klicken zum AusklappenFluidspannungen:

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung: $ p_x \cdot dz \; dy - p_{\alpha} \cos(\alpha) \cdot dy \; \frac{dz}{\cos(\alpha)} = 0$.

$p_x = p_{\alpha}$

Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung: $p_z = p_{\alpha}$

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung: $p_y = p_{\alpha}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenHydrostatischer Druck

Druck allg. $p = \frac{F}{A}$.

Hydrostatischer Druck eines Fluids: $p(h) = \rho \cdot g \cdot h$           
mit
$p(h) = [N/m^2] = Pa$   Hydrostatischer Druck in Abhängigkeit von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels
$\rho = [kg/m^3]$   Dichte
$g = [9,81 m/s^2]$     Fallbeschleunigung
$h = [m]$      Höhe des Flüssigkeitsspiegels

Berücksichtigung des Umgebungsdrucks: $p = p_b + p(h)$

Druckkraft: $F_z = \rho \; g \; h \cdot A = p \cdot A$ 

Hydrostatische Auftriebskraft: $F_A = G_{fluid} = \rho_{Fluid} \; g \; V_{Körper}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenSinken, steigen, schweben

Resultierende Kraft: $F_{res} = F_A - G_{Körper}$                
Es gilt:
$F_A = \rho_{fluid} \cdot g \cdot V_{Körper}$
$G_{Körper} = \rho_{Körper} \cdot g \cdot V_{Körper} $ bzw. $G_{Körper} = m g$

Fall 1: $G_{Körper} < F_A$
Die resultierende Kraft $F_{res}$ weist vertikal nach oben. Der Körper bewegt sich aufwärts. 
Fall 2: $G_{Körper} > F_A$
Die resultierende Kraft $F_{res}$ weist vertikal nach unten. Der Körper bewegt sich abwärts. 
Fall 3: $ G_{Körper} = F_A$
Die resultierende Kraft ist null und der Körper bleibt in seiner Position (er schwebt). Problematisch sind in dieser Situation schon kleine Änderungen des statischen Drucks, welche dazu führen, dass sich der Körper auf und ab bewegt. 

Methode

Hier klicken zum AusklappenVertikalkraft

$F_z = \rho_{Fluid} \; g \; V_{Körper}$ oder

$F_V = p_s \cdot A_{proj}$.

Methode

Hier klicken zum AusklappenHorizontalkraft

$ F_H = F_x = p_s \; A_{proj}$  
mit
$p_s = \rho \; g \; h_s$
$h_s = \text{senkrechter Abstand vom Schwerpunkt der betrachteten}$
        $\text{Fläche zur Flüssigkeitsoberfläche}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenResultierende

Betrag der Resultierenden: $F_R = \sqrt{F_V^2 + F_H^2}$ 

Richtung der Resultierenden: $\tan(\alpha) = \frac{F_V}{F_H}$ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenDruckmittelpunkt

$\eta_D = \frac{I_{\xi,S}}{\eta_S \; A}$.
mit
$I_{\xi,S}$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $\xi$-Achse im Schwerpunkt
$\eta_S$ Abstand vom Schwerpunkt zur Flüssigkeitsoberfläche in $\eta$-Richtung
$A$ Flächeninhalt

$\xi_D = \frac{I_{\eta \xi}}{\eta_S \; A}$
mit
$I_{\eta \xi}$ Deviationsmoment
$\eta_S$ Abstand vom Schwerpunkt zur Flüssigkeitsoberfläche in $\eta$-Richtung
$A$ Flächeninhalt

 Kinematik einer Strömung

Methode

Hier klicken zum AusklappenGeschwindigkeit eines Fluidteilchens

$\vec{w} = \frac{d \vec{r}}{dt} = [\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}] = [w_x, w_y, w_z]$.

Hydrodynamik

Methode

Hier klicken zum AusklappenPrinzip der Massenerhaltung

$\dot{m_1} = \dot{m_2}$.

Methode

Hier klicken zum AusklappenKontinuitätsgleichung

$A_1 w_1 \rho_1 = A_2 w_2 \rho_2 = \dot{m} = const.$              
mit
$A$  Querschnitt der Stromröhre
$w$  mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt der Stromröhre
$\rho$  Dichte des Fluids
$\dot{m}$  Massenstrom

vereinfacht (Dichte konstant): $A_1 w_1 = A_2 w_2 = const.$ (inkompressible Strömung)

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtenergiehöhe:

$H = z + \frac{p}{\rho \; g} + \frac{1}{2} \frac{w^2}{g} = const.$ 

mit
$w$  mittlere Strömungsgeschwindigkeit
$g = 9,81 m/s^2$ Fallbeschleunigung
$p$  Druck
$\rho$  Dichte des betrachteten Fluids
$z$  Höhe über/unter einer Bezugsebene mit gleicher geodätischer Höhe (Bezugsniveau)

Methode

Hier klicken zum AusklappenBernoullische Energiegleichung

$g \; z + \frac{1}{2} \; w^2 + \frac{p}{\rho} = E = const.$ Spezifische Energie (m²/s²)

Methode

Hier klicken zum AusklappenBernoullische Höhengleichung:

 $z + \frac{1}{2} \; \frac{w^2}{g}  + \frac{p}{g \; \rho} = H = const.$    Höhe (m)

Methode

Hier klicken zum AusklappenBernoullische Druckgleichung:

$\rho \; g \; z + \frac{1}{2} \; w^2 \; \rho  + p = D = const.$    Druck (N/m²)

Methode

Hier klicken zum AusklappenReibungsfreie Strömung:

Gesetz von Torricelli $w_2 = \sqrt{2 \; g \; (z_1 - z_2)}$ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenEinzelverluste bei Bernoullischen Gleichungen:

(1) $h_v = \xi \frac{w^2}{2 \; g}$.    Höhenverlust (für Höhengleichung)
(2) $\triangle p_v = \xi \frac{\rho \; w^2}{2}$   Druckverlust (für Druckgleichung)
(3) $e_v = \xi \frac{w^2}{2}$   Energieverlust (für Energiegleichung)

Methode

Hier klicken zum AusklappenDarcy-Weisbach-Gesetz 

$h_{sv} = \lambda \frac{L}{d} \frac{w^2}{2 \; g}$   Höhenverlust (für Höhengleichung)
$\triangle p_{sv} = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}$   Druckverlust (für Druckgleichung)
$e_{sv} = \lambda \frac{L}{d} \frac{w^2}{2}$   Energieverlust (für Energiegleichung)

Methode

Hier klicken zum AusklappenRohrabmessung

$\frac{L}{d}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenReynoldszahl

$Re = \frac{w \cdot d}{\nu_k}$
mit 
$w$  mittlere Strömungsgeschwindigkeit
$d$   hydraulischer Durchmesser des Rohrs
$\nu_k$  kinematische Zähigkeit (Viskosität)

$Re = \frac{w \cdot \rho \cdot d}{\eta_k}$

$\lambda = \frac{64}{Re}$. Laminare Strömung für $Re < Re_{krit}$


Methode

Hier klicken zum AusklappenZusammenhang der Viskositäten:

$\eta = \nu \cdot \rho$
mit
$\eta$  Dynamische Viskosität
$\nu $  Kinematische Viskosität
$\rho $  Dichte

Kinematische Viskosität $\nu = \frac{\eta}{\rho}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenEmpirisches Gesetz nach Prandtl:

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2,0 \cdot \log \frac{Re \sqrt{\lambda}}{2,51}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesetz nach Nikuradse

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2,0 \cdot \log \cdot 3,71 \frac{d}{k}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenEmpirische Gesetz nach Colebrook

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2,0 \cdot \log [\frac{2,51}{Re \sqrt{\lambda}} + \frac{k}{d \cdot 3,71}]$

Methode

Hier klicken zum AusklappenLaminare Strömung:

Gesetz von Hagen-Pousseuille: $\lambda = \frac{64}{Re}$. 

Kritische Reynolds-Zahl: $Re_{krit} = 2.300$

Laminare Strömung (nicht-kreisförmiger Querschnitt): $\lambda = \varphi \frac{64}{Re}$ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenTurbulente Strömung

Hydraulischer Durchmesser: $D_{hydr} = \frac{4 \cdot \text{Rohrquerschnitt}}{\text{benetzter Umfang}} = \frac{4 \cdot A}{U_{ben}}$

Rohrleitungen mit Pumpen

Methode

Hier klicken zum AusklappenBernoullische Energiegleichung unter Berücksichtigung von Reibung

$\scriptsize{g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho}  +  \frac{\triangle p_P}{\rho} =  g \; z_2 + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho} + \xi \frac{1}{2} \; w_2^2 + \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; w_2^2}$ 

mit
$W_P = \frac{\triangle p_P}{\rho}$  Spezifische technische Arbeit, die innerhalb der Pumpe dem Fluid zugeführt wird                 (= Stutzenarbeit)
$\triangle p_P$  Druckerhöhung innerhalb der Pumpe (Energiezufuhr in der Pumpe pro Volumeneinheit)

Methode

Hier klicken zum AusklappenFörderhöhe der Pumpe

$\scriptsize{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g} + \frac{p_1}{g \; \rho} + \frac{\triangle{p_P}}{\rho \; g} = z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g} + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g} + \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenDruckerhöhung innerhalb der Pumpe

$\scriptsize{\rho g z_1 + \frac{1}{2} w_1^2 \rho + p_1 + \triangle p_P = \rho g z_2 + \frac{1}{2} w_2^2 \rho + p_2 + \xi \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenWirkungsgrad der Pumpe

$\eta = \frac{\text{Leistungsabgabe an das Fluid}}{\text{Leistungsaufnahme der Pumpe}}$

$\eta = \frac{P}{P_A}$

Impuls und Drall

Methode

Hier klicken zum AusklappenImpuls: 

$I = m \cdot w$
mit
$I$   Impuls
$m$   Masse
$w$   Geschwindigkeit

Methode

Hier klicken zum AusklappenImpulsstrom (zeitliche Änderung)

$\frac{dI}{dt} = \frac{dI_2 - dI_1}{dt} = \frac{dm}{dt} (w_2 - w_1) = \dot{m} (w_2 - w_1)$

Methode

Hier klicken zum AusklappenStützkraftkonzept

$S_{ein} + S_{aus} + F_G + F_A = 0$  
mit
$S_{ein} = p_{ein} \cdot A_{ein} + \dot{I_{ein}}$
$S_{aus} = p_{aus} \cdot A_{aus} + \dot{I_{aus}}$

ist der Impulstrom nicht gegeben, dann:

$\dot{I_{ein}} = \dot{m} \cdot w_{ein} = \rho \cdot \dot{V} \cdot w_{ein} = \rho \cdot A_{ein} \cdot w_{ein}^2$.

$\dot{I_{aus}} = \dot{m} \cdot w_{aus} = \rho \cdot \dot{V} \cdot w_{aus} = \rho \cdot A_{aus} \cdot w_{aus}^2$.

Ebene Strömungen

Methode

Hier klicken zum AusklappenWirbelstärke

$\frac{\partial w_y}{\partial x} - \frac{\partial w_x}{\partial y}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenWirbelfreiheit

$\frac{\partial w_y}{\partial x} - \frac{\partial w_x}{\partial y} = 0$.

Hinweis

Hier klicken zum AusklappenHier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Strömungslehre.

Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.

Jessica