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Strömungslehre

Formelsammlung

Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung mit allen Formeln aus dem Kurs Strömungslehre für deine Klausur. 

Grundlagen der Strömungslehre

Methode

Dichte:

$\rho = \frac{m}{V}$                                 
$m$ Masse
$V$ Volumen
$\frac{kg}{m^3}$  Einheit

Methode

Kompressibilität

$\kappa = - \frac{1}{V} \frac{dV}{dp}$

Methode

Viskosität

Kraft: $F = \eta A \frac{\triangle v}{\triangle y}$
mit
$\eta$   Dynamische Viskosität 
$A$  Querschnittsfläche
$\triangle v$  Geschwindigkeitsunterschied
$\triangle y$   Abstand zwischen den Platten

Schubspannungen: $\tau = \frac{F}{A}$

Newtonsches Zähigkeitsgesetz: $\tau = \eta \frac{\triangle v}{\triangle y}$ 

Kinematische Viskosität: $\nu = \frac{\eta}{\rho}$  

Einheit der dynamischen Viskosität $\eta = \frac{kg}{m \cdot s} = \frac{Ns}{m^2}$ 

Hydrostatik

Methode

Fluidspannungen:

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung: $ p_x \cdot dz \; dy - p_{\alpha} \cos(\alpha) \cdot dy \; \frac{dz}{\cos(\alpha)} = 0$.

$p_x = p_{\alpha}$

Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung: $p_z = p_{\alpha}$

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung: $p_y = p_{\alpha}$

Methode

Hydrostatischer Druck

Druck allg. $p = \frac{F}{A}$.

Hydrostatischer Druck eines Fluids: $p(h) = \rho \cdot g \cdot h$           
mit
$p(h) = [N/m^2] = Pa$   Hydrostatischer Druck in Abhängigkeit von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels
$\rho = [kg/m^3]$   Dichte
$g = [9,81 m/s^2]$     Fallbeschleunigung
$h = [m]$      Höhe des Flüssigkeitsspiegels

Berücksichtigung des Umgebungsdrucks: $p = p_b + p(h)$

Druckkraft: $F_z = \rho \; g \; h \cdot A = p \cdot A$ 

Hydrostatische Auftriebskraft: $F_A = G_{fluid} = \rho_{Fluid} \; g \; V_{Körper}$

Methode

Sinken, steigen, schweben

Resultierende Kraft: $F_{res} = F_A - G_{Körper}$                
Es gilt:
$F_A = \rho_{fluid} \cdot g \cdot V_{Körper}$
$G_{Körper} = \rho_{Körper} \cdot g \cdot V_{Körper} $ bzw. $G_{Körper} = m g$

Fall 1: $G_{Körper} < F_A$
Die resultierende Kraft $F_{res}$ weist vertikal nach oben. Der Körper bewegt sich aufwärts. 
Fall 2: $G_{Körper} > F_A$
Die resultierende Kraft $F_{res}$ weist vertikal nach unten. Der Körper bewegt sich abwärts. 
Fall 3: $ G_{Körper} = F_A$
Die resultierende Kraft ist null und der Körper bleibt in seiner Position (er schwebt). Problematisch sind in dieser Situation schon kleine Änderungen des statischen Drucks, welche dazu führen, dass sich der Körper auf und ab bewegt. 

Methode

Vertikalkraft

$F_z = \rho_{Fluid} \; g \; V_{Körper}$ oder

$F_V = p_s \cdot A_{proj}$.

Methode

Horizontalkraft

$ F_H = F_x = p_s \; A_{proj}$  
mit
$p_s = \rho \; g \; h_s$
$h_s = \text{senkrechter Abstand vom Schwerpunkt der betrachteten}$
        $\text{Fläche zur Flüssigkeitsoberfläche}$

Methode

Resultierende

Betrag der Resultierenden: $F_R = \sqrt{F_V^2 + F_H^2}$ 

Richtung der Resultierenden: $\tan(\alpha) = \frac{F_V}{F_H}$ 

Methode

Druckmittelpunkt

$\eta_D = \frac{I_{\xi,S}}{\eta_S \; A}$.
mit
$I_{\xi,S}$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $\xi$-Achse im Schwerpunkt
$\eta_S$ Abstand vom Schwerpunkt zur Flüssigkeitsoberfläche in $\eta$-Richtung
$A$ Flächeninhalt

$\xi_D = \frac{I_{\eta \xi}}{\eta_S \; A}$
mit
$I_{\eta \xi}$ Deviationsmoment
$\eta_S$ Abstand vom Schwerpunkt zur Flüssigkeitsoberfläche in $\eta$-Richtung
$A$ Flächeninhalt

 Kinematik einer Strömung

Methode

Geschwindigkeit eines Fluidteilchens

$\vec{w} = \frac{d \vec{r}}{dt} = [\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}] = [w_x, w_y, w_z]$.

Hydrodynamik

Methode

Prinzip der Massenerhaltung

$\dot{m_1} = \dot{m_2}$.

Methode

Kontinuitätsgleichung

$A_1 w_1 \rho_1 = A_2 w_2 \rho_2 = \dot{m} = const.$              
mit
$A$  Querschnitt der Stromröhre
$w$  mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt der Stromröhre
$\rho$  Dichte des Fluids
$\dot{m}$  Massenstrom

vereinfacht (Dichte konstant): $A_1 w_1 = A_2 w_2 = const.$ (inkompressible Strömung)

Methode

Gesamtenergiehöhe:

$H = z + \frac{p}{\rho \; g} + \frac{1}{2} \frac{w^2}{g} = const.$ 

mit
$w$  mittlere Strömungsgeschwindigkeit
$g = 9,81 m/s^2$ Fallbeschleunigung
$p$  Druck
$\rho$  Dichte des betrachteten Fluids
$z$  Höhe über/unter einer Bezugsebene mit gleicher geodätischer Höhe (Bezugsniveau)

Methode

Bernoullische Energiegleichung

$g \; z + \frac{1}{2} \; w^2 + \frac{p}{\rho} = E = const.$ Spezifische Energie (m²/s²)

Methode

Bernoullische Höhengleichung:

 $z + \frac{1}{2} \; \frac{w^2}{g}  + \frac{p}{g \; \rho} = H = const.$    Höhe (m)

Methode

Bernoullische Druckgleichung:

$\rho \; g \; z + \frac{1}{2} \; w^2 \; \rho  + p = D = const.$    Druck (N/m²)

Methode

Reibungsfreie Strömung:

Gesetz von Torricelli $w_2 = \sqrt{2 \; g \; (z_1 - z_2)}$ 

Methode

Einzelverluste bei Bernoullischen Gleichungen:

(1) $h_v = \xi \frac{w^2}{2 \; g}$.    Höhenverlust (für Höhengleichung)
(2) $\triangle p_v = \xi \frac{\rho \; w^2}{2}$   Druckverlust (für Druckgleichung)
(3) $e_v = \xi \frac{w^2}{2}$   Energieverlust (für Energiegleichung)

Methode

Darcy-Weisbach-Gesetz 

$h_{sv} = \lambda \frac{L}{d} \frac{w^2}{2 \; g}$   Höhenverlust (für Höhengleichung)
$\triangle p_{sv} = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}$   Druckverlust (für Druckgleichung)
$e_{sv} = \lambda \frac{L}{d} \frac{w^2}{2}$   Energieverlust (für Energiegleichung)

Methode

Rohrabmessung

$\frac{L}{d}$

Methode

Reynoldszahl

$Re = \frac{w \cdot d}{\nu_k}$
mit 
$w$  mittlere Strömungsgeschwindigkeit
$d$   hydraulischer Durchmesser des Rohrs
$\nu_k$  kinematische Zähigkeit (Viskosität)

$Re = \frac{w \cdot \rho \cdot d}{\eta_k}$

$\lambda = \frac{64}{Re}$. Laminare Strömung für $Re < Re_{krit}$


Methode

Zusammenhang der Viskositäten:

$\eta = \nu \cdot \rho$
mit
$\eta$  Dynamische Viskosität
$\nu $  Kinematische Viskosität
$\rho $  Dichte

Kinematische Viskosität $\nu = \frac{\eta}{\rho}$

Methode

Empirisches Gesetz nach Prandtl:

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2,0 \cdot \log \frac{Re \sqrt{\lambda}}{2,51}$

Methode

Gesetz nach Nikuradse

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2,0 \cdot \log \cdot 3,71 \frac{d}{k}$

Methode

Empirische Gesetz nach Colebrook

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2,0 \cdot \log [\frac{2,51}{Re \sqrt{\lambda}} + \frac{k}{d \cdot 3,71}]$

Methode

Laminare Strömung:

Gesetz von Hagen-Pousseuille: $\lambda = \frac{64}{Re}$. 

Kritische Reynolds-Zahl: $Re_{krit} = 2.300$

Laminare Strömung (nicht-kreisförmiger Querschnitt): $\lambda = \varphi \frac{64}{Re}$ 

Methode

Turbulente Strömung

Hydraulischer Durchmesser: $D_{hydr} = \frac{4 \cdot \text{Rohrquerschnitt}}{\text{benetzter Umfang}} = \frac{4 \cdot A}{U_{ben}}$

Rohrleitungen mit Pumpen

Methode

Bernoullische Energiegleichung unter Berücksichtigung von Reibung

$\scriptsize{g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho}  +  \frac{\triangle p_P}{\rho} =  g \; z_2 + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho} + \xi \frac{1}{2} \; w_2^2 + \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; w_2^2}$ 

mit
$W_P = \frac{\triangle p_P}{\rho}$  Spezifische technische Arbeit, die innerhalb der Pumpe dem Fluid zugeführt wird                 (= Stutzenarbeit)
$\triangle p_P$  Druckerhöhung innerhalb der Pumpe (Energiezufuhr in der Pumpe pro Volumeneinheit)

Methode

Förderhöhe der Pumpe

$\scriptsize{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g} + \frac{p_1}{g \; \rho} + \frac{\triangle{p_P}}{\rho \; g} = z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g} + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g} + \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}}$

Methode

Druckerhöhung innerhalb der Pumpe

$\scriptsize{\rho g z_1 + \frac{1}{2} w_1^2 \rho + p_1 + \triangle p_P = \rho g z_2 + \frac{1}{2} w_2^2 \rho + p_2 + \xi \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho} $

Methode

Wirkungsgrad der Pumpe

$\eta = \frac{\text{Leistungsabgabe an das Fluid}}{\text{Leistungsaufnahme der Pumpe}}$

$\eta = \frac{P}{P_A}$

Impuls und Drall

Methode

Impuls: 

$I = m \cdot w$
mit
$I$   Impuls
$m$   Masse
$w$   Geschwindigkeit

Methode

Impulsstrom (zeitliche Änderung)

$\frac{dI}{dt} = \frac{dI_2 - dI_1}{dt} = \frac{dm}{dt} (w_2 - w_1) = \dot{m} (w_2 - w_1)$

Methode

Stützkraftkonzept

$S_{ein} + S_{aus} + F_G + F_A = 0$  
mit
$S_{ein} = p_{ein} \cdot A_{ein} + \dot{I_{ein}}$
$S_{aus} = p_{aus} \cdot A_{aus} + \dot{I_{aus}}$

ist der Impulstrom nicht gegeben, dann:

$\dot{I_{ein}} = \dot{m} \cdot w_{ein} = \rho \cdot \dot{V} \cdot w_{ein} = \rho \cdot A_{ein} \cdot w_{ein}^2$.

$\dot{I_{aus}} = \dot{m} \cdot w_{aus} = \rho \cdot \dot{V} \cdot w_{aus} = \rho \cdot A_{aus} \cdot w_{aus}^2$.

Ebene Strömungen

Methode

Wirbelstärke

$\frac{\partial w_y}{\partial x} - \frac{\partial w_x}{\partial y}$

Methode

Wirbelfreiheit

$\frac{\partial w_y}{\partial x} - \frac{\partial w_x}{\partial y} = 0$.

Hinweis

Hier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Strömungslehre.

Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.

Jessica