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Maschinenelemente 2

Formelsammlung

Hier findest du eine ausführliche Formelsammlung mit allen Formeln aus diesem Kurs für deine Klausur Maschinenelemente 2. 

Schraubenverbindungen

Methode

Hier klicken zum AusklappenSchraubenkraft = Normalkraft

Methode

Hier klicken zum AusklappenSteigungswinkel:

$ tan \phi = \frac{S}{\pi \, \cdot \, d_m} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenElastische Nachgiebigkeit

wirkende Kraft: $ F = x \cdot c $

mit $ x = f $ und $ c = \frac{1}{\delta} $

Nachgiebigkeit: $ \delta = \frac{f}{F} $

$ f = $ Längenänderung
$ F = $ wirkende Kraft

Methode

Hier klicken zum AusklappenHookesches Gesetz:

$ \sigma = E \cdot \epsilon = E \cdot \frac{f}{l} $

$ \sigma = $ mechanische Spannung
$ E = $ Elastizitätsmodul
$ \epsilon = $ relative Längenänderung
$ f = $ Längenänderung
$ l = $ Ausgangslänge

alternativ:

Hookesches Gesetz: $ \sigma = \frac{F}{A} $

$ F = $ Kraft
$ A = $ Querschnittsfläche

Methode

Hier klicken zum AusklappenNachgiebigkeit Teilelemente:

$ \delta_i = \frac{f_i}{F_i} = \frac{l_i}{E \, \cdot \, A_i} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtnachgiebigkeit der Schraube:

$ \delta_S = \sum_i \delta_i + \delta_K + \delta_{GM} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenNachgiebigkeit Schraubenkopf:

$ \delta_K = \frac{l_K}{E_S \, \cdot \, A_N} $

mit:
$ l_K = 0,5 \cdot d $ für Sechskantschrauben
$ l_K = 0,4 \cdot d $ für Innensechskantschrauben

$ l_K $ = Ersatzdehnlänge des Schraubenkopfes
$ d $ = Außendurchmesser des Gewindes (bspw. Schraubentyp M8 = 8 mm)
$ E_S $ = E-Modul der Schraube
$ A_N = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $ = Nennquerschnitt (kann auch Tabellenwerken entnommen werden)

Methode

Hier klicken zum AusklappenNachgiebigkeit eingeschraubter Gewindeteil:

$\delta_{GM} = \delta_G + \delta_M $

Methode

Hier klicken zum AusklappenNachgiebigkeit eingeschraubter Schraubengewindekern:

$ \delta_G = \frac{l_G}{E_S \, \cdot \, A_{d_3}} $

mit
$ l_G = 0,5 \cdot d $
$ l_G $ = Ersatzdehnlänge des eingeschraubten Schraubengewindekerns
$ d $ = Außendurchmesser des Gewindes
$ E_S $ = E-Modul der Schraube
$ A_{d_3} = \frac{\pi}{4} \cdot d_3^2 $ = Kernquerschnitt des Gewindes
$ d_3 $ = Kerndurchmesser des Gewindes

Methode

Hier klicken zum AusklappenNachgiebigkeit Mutter:

$ \delta_M = \frac{l_M}{E_M \, \cdot \, A_N} $

für Durchsteckschraub- und Stehbolzenverbidungen:
$ E_M = E_S $
$ l_M = 0,4 \cdot d $

für Einschraubverbindungen/Sacklochverschraubungen:
$ E_M = E_P $
$ l_M = 0,33 \cdot d $
$ l_M $ = Ersatzdehnlänge der Mutter
$ d $ = Außendurchmesser des Gewindes
$ E_S $ = E-Modul der Schraube
$ E_S $ = E-Modul der Mutter
$ E_P $ = E-Modul des Werkstoffs des Einschraubgewindebereichs
$ A_N = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $ = Nennquerschnitt (kann auch Tabellenwerken entnommen werden)

Methode

Hier klicken zum AusklappenNachgiebigkeit verspannte Teile:

$ \delta_p = \frac{f}{F} = \frac{l_K}{E_p \, \cdot \, A_{ers}} $

$ l_K $ = Klemmlänge
$ E_p $ = E-Modul der verspannten Teile bzw. des Einschraubgewindebereichs
$ A_{ers}$ = Ersatzquerschnitt

Methode

Hier klicken zum AusklappenVerspannungsschaubild

Dabei gilt für den Winkel der

Schraubengerade: $ tan \alpha = \frac{1}{\delta_S} $ und für die
Gerade der verspannten Teile: $ tan \beta= \frac{1}{\delta_P} $.
$ \delta_S $ = Nachgiebigkeit der Schraube
$ \delta_P $ = Nachgiebigkeit der verspannten Teile

Methode

Hier klicken zum AusklappenAnzugsmoment:

$ M_A = M_K + M_G = F_M \cdot \frac{D_{KM}}{2} \cdot \mu_K + F_M \cdot \frac{d_2}{2} \cdot tan (\phi + \rho') $

$ F_M $ = Vorspannkraft
$ D_{KM} $ = mittlerer Kopfdurchmesser
$ \mu_K $ = Reibwert unter dem Schraubenkopf
$ d_2 $ = Flankendurchmesser des Gewindes
$ \phi $ = Steigungswinkel
$ \rho' $ = Reibungswertwinkel

$ tan \rho' = \frac{\mu_G}{cos \frac{\alpha}{2}} $

$ \mu_G = $ Reibwert des Gewindes
$ \frac{\alpha}{2} $ = halber Flankenwinkel

Methode

Hier klicken zum AusklappenAnziehfaktor:

$ \alpha_A = \frac{F_{Mmax}}{F_{Mmin}} $

$ F_{Mmax} $ = maximal zulässige Montagekraft bevor es zum Schraubenbruch kommt
$ F_{Mmin} $ = minimal notwendige Montagekraft bevor es zum Lockern der Schraubenverbindung kommt

Methode

Hier klicken zum AusklappenSchraubenzusatzkraft:

$ F_{SA} = \frac{f_{SA}}{\delta_S} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenZusatzkraft der verspannten Teile:

$ F_{PA} = \frac{f_{PA}}{\delta_P} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtbelastung Schraube:

$ F_S = F_M + F_{SA} \rightarrow F_S = F_M + \Phi_K \cdot F_A $

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtbelastung verspannte Teile/Restklemmkraft:

$ F_K = F_M - F_{PA} \rightarrow F_K = F_M - ( 1 - \Phi_K) \cdot F_A $

Methode

Hier klicken zum AusklappenSchraubenverbindung mit dynamischen Betriebskräften:

Zusatzbelastung: $ F_{SA} = \omega_K \cdot \frac{F_A}{2} = \frac{F_{SA}}{2} $

Mittlere Schraubenkraft: $ F_{SM} = F_M + \omega_K \cdot \frac{F_A}{2} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenKrafteinleitungskennzahl:

$ n = \frac{l_1}{l_K} $ mit $ n \le 1 $

tatsächlichen Klemmlänge: $ l_1 $

konstruktive Klemmlänge: $ l_K $:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen
Formel/Belastungsartohne Betriebskraftmit Betriebskraft
Nachgiebigkeit verspannte Teile$ \delta_P = \frac{l_K}{E_P \, \cdot \, A_{ers}} $$ \delta_P = \frac{l_K}{E_P \, \cdot \, A_{ers}} \cdot n $
Schraubennachgiebigkeit$ \delta_S = \sum \delta_i + \delta_M + \delta_K $$ \delta_S = \sum \delta_i + \delta_M + \delta_K + (1 - n) \cdot \delta_P $
Kraftverhältnis$ \Phi_K = \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P } $$ \Phi_K = \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P } \cdot n $

Methode

Hier klicken zum AusklappenVorspannverlust durch Setzen

Setzbetrag: $ f_Z = f_{ZS} + f_{ZP} $

 Tragfähigkeitsnachweis - Schraubenverbindung

Methode

Hier klicken zum AusklappenZugspannung:

$\sigma_z = \frac{F_M}{A_S} $ wobei $ A_S = \frac{\pi}{4} \cdot d_S^2 = \frac{\pi}{4} \cdot (\frac{d_k + d_{fl}}{2})^2 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenTorsionspannung:

$ \tau = \frac{M_G}{W_P} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenPolares Widerstandsmoment:

$ W_P = \frac{\pi}{16} \cdot d_S^3 = \frac{\pi}{16} \cdot ( \frac{d_k + d_{fl}}{2})^3 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenVergleichsspannung:

$ \sigma_v = \sqrt{\sigma_z^2 + 3 \tau^2} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenVergleichspannung vs. zulässiger Schraubenkennwert:

$ \sigma_v \le \frac{R_{eH}}{\nu} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenRingfläche:

$ A_p = \frac{\pi}{4} \cdot (d_w^2 - d_a^2) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenZulässige Flächenpressung:

$ p_{zul} \ge \frac{F_S}{A_P} \rightarrow p_{zul} \ge \frac{F_S}{\frac{\pi}{4} \cdot \, (d_w^2 - d_a^2)} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenMaximale Vorspannkraft

$ F_{Mmax} = \alpha_A \cdot F_{Mmin} \rightarrow $ maximale Vorspannkraft = Anziehfaktor $ \cdot $ Mindestvorspannkraft

Montagevorspannkraft: $ F_{Mmax} = \alpha_A \cdot ( F_{Kerf} + F_{PA} + F_Z ) $

$ \leftrightarrow $

$ F_{Mmax} = \alpha_A \cdot ( F_{Kerf} + (1 - \Phi) F_A + F_Z ) $
$ F_{Kerf} $ = erforderliche Klemmkraft
$ F_{PA} $ = Klemmkraftverluste
$ F_{A} $ = Betriebkraft
$ F_{Z} $ = Vorspannkraftverluste durch Setzvorgänge

 Elastische Verbindungselemente

Methode

Hier klicken zum AusklappenAbsenkung der Feder:

$ s = f(F) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenVerdrehung einer Feder:

$ \varphi = f(T) $

Methode

Hier klicken zum AusklappenArbeit:

$ W = \int_0^{s_{max}} ds $

Arbeit Drehfeder:

$ W = \int_0^{\phi_{max}} T d\phi $

Methode

Hier klicken zum AusklappenDämpfungsfaktor:

$ \psi = \frac{W_{verlust}}{W_{raus}} \rightarrow \frac{\text{Verlustarbeit}}{\text{herausbekommene Arbeit}} $

$ \psi = \frac{W_D}{W_{el}} \rightarrow \frac{\text{Dämpfungsarbeit}}{\text{elastische Arbeit}}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtfedersteifigkeit einer Parallelschaltung von Federn:


 $ C_{ges} = \frac{F_{ges}}{s} = \sum C_i $

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtfedersteifigkeit einer Reihenschaltung von Federn

$ \frac{1}{C_{ges}} = \sum \frac{1}{C_i} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtfedersteifigkeit - Stabfeder:

$ C =\frac{\sigma \, \cdot \, A}{\epsilon \, \cdot \, l } = E \cdot \frac{A}{l} $

Federarbeit: $ W = \frac{1}{2} \cdot \sigma^2 \cdot \frac{1}{E} \cdot A \cdot l $

Methode

Hier klicken zum AusklappenFedersteifigkeit Blattfeder:

$ C = \frac{F}{s} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenMaximaler Federweg - Tellerfeder:

$ s = 0,75 \cdot h_0 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenDrehstabfeder

Verdrehwinkel: $ \varphi = \frac{l}{G \, \cdot \, I_T} \cdot T $

Federsteifigkeit: $\ C_{\phi} = \frac{T}{\varphi} \rightarrow C_{\varphi} = \frac{G \, \cdot \, I_T }{l} $

Arbeitsaufnahme: $ w = \frac{T^2}{2} \cdot C_{\varphi} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenSchraubendruck- und Schraubenzugfedern:

Windungsanzahl: $ i_{ges} = i_f + 2 $
$ i_f $ = Anzahl der federnden Windungen

Wellen und Achsen

Methode

Hier klicken zum AusklappenBiegung: $ \sigma_b = \frac{M_b}{W_b} $

Normalkraft: $ \sigma_n = \frac{F}{A} $

Torsion: $ \tau_t = \frac{T}{W_t} $

Querkraft: $ \tau_s = \frac{Q}{A} $

Methode

Hier klicken zum Ausklappen
Wellengeometrie/MomenteGlatte WelleGenutete WelleGlatte HohlwelleKeilwelleDurchbohrte Welle
$ W_b $$\approx 0,1 d^3 $$\approx 0,012 (D + d^3)$$\approx 0,1 \frac{D^4 - d^4}{D} $$\approx 0,012 (D + d)^3 $$\approx 0,1 D^3 - 0,17 d \cdot D^2 $
$ W_t $$ 2 \cdot W_b $$\approx 0,2 \cdot d^3 $$ = 2 \cdot W_b $$ = 2 \cdot W_b $$\approx 2 \cdot W_b $
$ I_b $$\approx 0,1 d^4 $$\approx 0,003 (D + d)^4 $$\approx 0,05 (D^4 -d^4) $$\approx 0,003 (D + d)^4 $$\approx 0,05 D^4 - 0,083 d \cdot D^3 $
$ I _t $$\approx 0,1 d^4 $$\approx 0,1 d^4 $$ = 2 \cdot I_b $$ = 2 \cdot I_b $$\approx 2 I_b $

 Wälzlager, Gleitlager

Methode

Hier klicken zum AusklappenGleitlager

Festkörperreibung: $\mu_{Gleit} \approx \mu_{Haft} $

Haftschichtenreibung: $ \mu_{Haftschicht} < \mu_{Haft} $

spezifische Schmierfilmdicke: $ \lambda =\frac{h_{min}}{R_a} $
$ \ h_{min} $ = minimale Schmierfilmdicke im Kontaktbereich
$ \ R_a = 0,5 \cdot ( R_{a1} + R_{a2}) $ = gemittelte Oberflächenrauheit der Kontaktflächen

relative Exzentrizität: $ \varepsilon = \frac{e}{R - r} $
$ e $ = Exzentrizität
$ R $ = Bohrungsradius
$ r $ = Zapfenradius

relatives Lagerspiel: $ \Psi = \frac{R - r}{R} $
$ R $ = Bohrungsradius
$ r $ = Zapfenradius

kleinste Spalthöhe: $ h_0 = r \cdot \Psi \cdot (1 - \varepsilon) \le h_{0 zul} $

Lagerbelastung: $ F = \frac{ 1 \cdot \nu \cdot \omega \cdot B \cdot R}{\Psi^2} \cdot So $
$ \nu $ = Viskosität des Schmiermittels bei gegebener Temperatur
$ \omega $ = Winkelgeschwindigkeit
$ B $ = Breite des Radiallagers
$ So $ = Sommerfeldzahl

Sommerfeldzahl: $ So = \frac{\overline{p} \cdot \Psi^2}{\nu \cdot \omega} $
$ \overline{p} $ = mittlere Flächenpressung 

mittlere Flächenpressung: $ \overline{p} = \frac{F}{B \cdot D} $
$ B \cdot D $ = Projektionsfläche

Lagerverlustleistung:
$ P_v = \mu \cdot F \cdot U = \frac{3 \, \cdot \, \Psi}{So} \cdot \overline{p} \cdot B \cdot D \cdot \frac{d}{2} \cdot \omega \Longrightarrow P_v = \frac{3}{2} \cdot \nu \cdot \frac{D^2 \cdot \, B}{Psi} \cdot \omega^2 \ \ $ bei einem Durchmesserverhältnis von $ d \approx D $

Relative Exentrizität am Übergangspunkt: $ \varphi_ü = \frac{e_{max}}{R- r} = 1 - \frac{h_0}{r \, \cdot \, \Psi} $

Übergangsdrehzahl: $ n_ü = \frac{\omega_ü}{2 \, \cdot \, \pi} $

Wärmegleichgewicht: $ P_v = \dot Q_{zu} = \dot Q_{ab} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenSchmiermittel

dynamische Viskosität: $ \eta = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}} $

kinematische Viskosität: $ \nu = \frac{\eta}{\rho} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenWälzlager

Hertzsche Pressung bei Punktberührung: $ p_{maxp} = - \frac{1}{\pi} \sqrt[3]{\frac{1,5 \, \cdot \, F \, \cdot \, E^2}{R^2 \cdot \, ( 1 - \nu)}} $ 
Weitere Einflussgrößen und deren Berechnung:

$ E $ = resultierendes Elastizitätsmodul $ \rightarrow  E = \frac{2 \, \cdot \, E_1 \, \cdot \, E_2}{E_1 + E_2} $

$ R $ = Ersatzkrümmungsradius (Punkt) $ \rightarrow  \frac{1}{R}= \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{r_{1x}} +  \frac{1}{r_{1y}}) + \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{r_{2x}} + \frac{1}{r_{2y}})$

$ r_{1x}, r_{1y} $ = Radien des Wälzkörpers

$ r_{2x}, r_{2y} $ = Radien des Ringes 

$ \nu $ = Querkontraktionszahl

Hertzsche Pressung bei Linienberührung: $ p_{maxl} = - \sqrt{\frac{F \, \cdot \, E}{2 \, \cdot \, \pi \, \cdot \, R \, \cdot \, L \, \cdot \, ( 1 - \nu^2)}} $
Weitere Einflussgrößen und deren Berechnung:

$ L $ = Länge der Linienberührung

$ R $ = Ersatzkrümmungsradius (Linie) $\rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{r_{1x}} + \frac{1}{r_{1y}} + \frac{1}{r_{2x}} + \frac{1}{r_{2y}} $

Hinweis

Hier klicken zum AusklappenHier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Maschinenelemente 2.

Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.

Jan