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Mechanische Verfahrenstechnik - Theorem nach Buckingham

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Mechanische Verfahrenstechnik

Theorem nach Buckingham

Inhaltsverzeichnis

Liegt uns eine physikalische Funktion vor, die eine transzendente Funktion, zB. Exponentialfunktion oder Logarithmusfunktion, enthält, so müssen Argumente und Funktionswert dimensionslos sein:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ A = e^B \rightarrow [A] = [B] = 1 $

Dividiert man eine Gleichung durch einen enthaltenen Summanden, so kann daraus eine Summe dimensionsloser Größen erzeugt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ A_1 + A_2 = 0 \rightarrow \frac{A_1}{A_2} + 1 = 0 $

Und genau hier setzt die Dimensionsanalyse an, denn sie beinhaltet den Zweck physikalische Zusammenhänge durch dimensionslose Variablen zu beschreiben.

Buckingham-Theorem

Liegt ein physikalischer Zusammenhang durch z voneinander unabhängigen Größen $ \alpha_i $ in der Form

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ f(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, ….. \alpha_z ) = 0 $

vor, so ist eine Reduzierung dieser auf mit p unabhängigen dimensionslosen Kenngrößen $ \Pi_k $ möglich. Wir formulieren

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \phi (\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3, …..\Pi_p ) = 0 $

Diese Kenngrößen sind jeweils Potenzprodukte der Ausgangsgrößen $ \alpha_i $. Es gilt also für
$ \Pi_k $ :

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \Pi_k = \alpha_1^{\xi_1} \cdot \alpha_2^{\xi_2} \cdot \alpha_3^{\xi_3} \cdot ….. \cdot \alpha_z^{\xi_z}$

Hier gilt es jedoch zu beachten, dass die Exponenten $ \xi_i $ so gewählt werden, dass $ [\Pi_k] = 1 $

Der Rang der zugehörigen Koeffizientenmatrix ist gegeben durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ r = z – p $

Die gesuchte Größe, also die Größe die die Abhängigkeit der jeweiligen Größen $ \alpha_i $ und $ \Pi_k $ zu anderen Variablen herstellt, bezeichnet man in der Dimensionsanalyse als Zielgröße.

Hinweis

Hier klicken zum AusklappenIm kommenden Kurstext führen wir eine Dimensionsanalyse durch.