Theorem nach Buckingham

Liegt uns eine physikalische Funktion vor, die eine transzendente Funktion, zB. Exponentialfunktion oder Logarithmusfunktion, enthält, so müssen Argumente und Funktionswert dimensionslos sein:

Dividiert man eine Gleichung durch einen enthaltenen Summanden, so kann daraus eine Summe dimensionsloser Größen erzeugt werden:

Und genau hier setzt die Dimensionsanalyse an, denn sie beinhaltet den Zweck physikalische Zusammenhänge durch dimensionslose Variablen zu beschreiben.

Buckingham-Theorem

Liegt ein physikalischer Zusammenhang durch z voneinander unabhängigen Größen $ \alpha_i $ in der Form

vor, so ist eine Reduzierung dieser auf mit p unabhängigen dimensionslosen Kenngrößen $ \Pi_k $ möglich. Wir formulieren

Diese Kenngrößen sind jeweils Potenzprodukte der Ausgangsgrößen $ \alpha_i $. Es gilt also für
$ \Pi_k $ :

Hier gilt es jedoch zu beachten, dass die Exponenten $ \xi_i $ so gewählt werden, dass $ [\Pi_k] = 1 $

Der Rang der zugehörigen Koeffizientenmatrix ist gegeben durch:

Die gesuchte Größe, also die Größe die die Abhängigkeit der jeweiligen Größen $ \alpha_i $ und $ \Pi_k $ zu anderen Variablen herstellt, bezeichnet man in der Dimensionsanalyse als Zielgröße.