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Definition: Lineares Programm

WebinarTerminankündigung:
 Am 20.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Operations Research) Primaler Simplexalgorithmus
- Das 60-minütige Gratis-Webinar behandelt den primalen Simplexalgorithmus.
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Ein lineares Programm besteht zunächst einmal aus einer zu maximierenden bzw. zu minimierenden linearen Zielfunktion:

$f(x_1, x_2, ... , x_n) = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... c_3 x_n = \sum_{j = 1}^n c_j x_j$    $\rightarrow $   max / min

Merke

Die in der Zielfunktion auftretenden Variablen $(x_1, x_2, ..., x_n)$ nennt man Entscheidungsvariablen.

Es müssen zusätzlich die linearen Nebenbedingungen (=Restriktionen) berücksichtigt werden:

$a_{ij} x_j + ... + a_{in} x_n = b_i$

$a_{ij} x_j + ... + a_{in} x_n \le b_i$

$a_{ij} x_j + ... + a_{in} x_n \ge b_i$

mit

$i = 1, ..., m$  und   $j = 1, ..., n$.

Häufig muss auch die Nichtnegativitätsbedingung erfüllt sein:

$x_1, x_2, ..., x_n \ge 0$

Merke

Bei den meisten Aufgaben aus der Praxis gibt es eine Beschränkung der Entscheidungsvariablen auf Werte größer/gleich Null (Nichtnegativitätsbedingung). Grund dafür ist, dass diese in der Regel keine negativen Werte annehmen können. So kann zum Beispiel ein Unternehmen keine "negative Anzahl" an Produkten produzieren.

Definition der Lösungen

  • Jede Lösung $\vec{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)$ , die alle obigen Nebenbedingungen erfüllt, heißt Lösung des LP.

  • Erfüllt $\vec{x}$ zusätzlich die Nichtnegativitätsbedingungen, so heißt $\vec{x}$ zulässige Lösung des LP.

  • Es handelt sich um eine optimale Lösung $\vec{x}^* = (x_1^*, x_2^*, ..., x_n^*)$ des LP, wenn kein $\vec{x}$ mit kleinerem (bei einem Minimierungsproblem) bzw. größerem (bei einem Maximierungsproblem) Zielfunktionswert $f(x_1^*, x_2^*, ..., x_n^*)$ existiert.

  • Mit $X$ wird die Menge aller zulässiger Lösungen eines LP bezeichnet, mit $X^*$ die Menge aller optimalen Lösungen eines LP.
Multiple-Choice
Gegeben sei eine zu maximierende Zielfunktion unter Nebenbedingungen. Dabei gilt für alle Variablen $x_j \ge 0$.Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Operations Research 2

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Operations Research 2: Überblick
    • Einleitung zu Operations Research 2: Überblick
  • Grundlagen des Operations Research 1
    • Einleitung zu Grundlagen des Operations Research 1
    • Definition: Lineares Programm
    • Standardform: Maximierungsproblem
      • Einleitung zu Standardform: Maximierungsproblem
      • Grafische Lösung des Maximierungsproblems
    • Primaler Simplexalgorithmus
      • Einleitung zu Primaler Simplexalgorithmus
      • Lösung des Maximierungsproblems mittels primalen Simplexalgorithmus
    • Dualer Simplexalgorithmus
    • Umformung in die Standardform
    • Umformung in die Normalform
  • Ganzzahlige Optimierung
    • Einleitung zu Ganzzahlige Optimierung
    • Grafisches Verfahren
    • Verfahren von Gomory
      • Einleitung zu Verfahren von Gomory
      • Beispiel: Verfahren von Gomory
    • Branch-and-Bound-Verfahren
      • Einleitung zu Branch-and-Bound-Verfahren
      • Branch-and-Bound: Maximierungsprobleme
        • Einleitung zu Branch-and-Bound: Maximierungsprobleme
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          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Maximierungsproblem
          • Festlegung der oberen/unteren Schranke, Prioritätenfestlegung
          • Entscheidungsbaum für das Maximierungsproblem
          • Beispiel: Branch and Bound am Maximierungsproblem
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          • Beispiel: Branch and Bound am Maximierungsproblem (optimale Lösung)
      • Branch-and-Bound: Minimierungsprobleme
        • Einleitung zu Branch-and-Bound: Minimierungsprobleme
        • Branch-and-Bound am Minimierungsproblem
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Minimierungsproblem
          • Festlegung der unteren/oberen Schranke, Prioritätenfestlegung
          • Entscheidungsbaum für das Minimierungsproblem
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem
        • Branch-and-Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung)
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung)
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 1
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 2
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 3
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